学位论文—-薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算课程设计论文.doc

-1- 薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算课程设计指导教师: 学院: 航空学院姓名: 学号: 班级: -2- 薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算一、一般三维体弹性系统求解微分方程体系总结 1、弹性力学中的基本假定(1)连续性,即假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满。(2)完全弹性,物体在引起形变的外力被除去后可完全恢复原形(3)均匀性,即假定物体是由同一材料组成的。(4)各向同性,物体的弹性在所有各个方向都相同。(5)和小变形假定,即假定位移和形变是微小的。 2、平衡微分方程在一般空间问题中,包含 15个未知函数,即6个应力分量、6个形变分量和 3个位移分量,它们都是 x,y,z 坐标变量的函数。对于空间问题,在弹性体区域内部,考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立平衡微分方程、几何方程和物理方程;并在给定约束面或面力的边界上,建立位移边界条件或应力边界条件。然后在边界条件下根据所建立的三套方程求解应力分量、形变分量和位移分量。在物体内的任一点 P ,割取一个微小的平行六面体,如图 1-1 所示。根据平衡条件即可建立方程。(1) 分别以连接六面体三对相对面中心的直线为矩轴,列出力矩的平衡方程 0??M ,可证明切应力的互等性: yx xy xz zx zy yz?????????,, (2) 分别以轴轴、轴、 zyx 为投影轴,列出投影的平衡方程 0?? xF ,0?? yF , 0?? zF ,对方程进行约简和整理后,得到空间问题的平衡微分方程如下???????????????????????????????????????0 0 0 z yz xzz y xy zyy x zx yx xfyxz fxzy fzyx?????????(1-1) -3- 3、物体内任一点的应力状态现在,假定物体在任一点 P的6 个直角坐标面上的应力分量,, zyx,??? yx xy xz zx zy yz?????????,, 为已知,试求经过 P点的任一斜面上的应力。为此,在P点附近取一个平面 ABC ,平行于这一斜面,并与经过 P点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体 PABC ,如图 1-2 所示。当四面体 PABC 无限减小而趋于 P点时,平面 ABC 上的应力就成为该斜面上的应力。命平面 ABC 的外法线为'n ,则其方向余弦为?????? nznmynlxn???,' cos ,,' cos ,,' cos 图 1-1dx dy dz 图 1-2dx dy dz -4- 三角形 ABC 上的全应力 p 在坐标轴上的投影用 zyxppp ,,代表. 根据四面体的平衡条件进行推到,可以得出??????????????. , , yz xzzz xy zyyy zx yx xxmlnp lnmp nmlp?????????(1-2) 设三角形 ABC 上的正应力为 n?,则 zyxnnp mp lp????,将式 1-2 代入,并分别用 xy zx yz???,, 代替 yx xz zy???,, ,即得 xy zx yz zyxn lm nl mn nml???????222 222??????(1-3) 设三角形 ABC 上的切应力为 n?,则由于 222222zyxnnpppp???????,得 22222- nzyxnppp?????(1-4 ) 由式 1-3 和1-4 可见, 6 个应力分量完全决定了一点的应力状态。在特殊情况下,如果 ABC 是物体上受面力作用的边界面?s ,则 zyxppp,, 成为面力分量 zyxfff,, ,于是由式 1-2 得空间问题的应力边界条件??????????????????????. , , zs yz xzz ys xy zyy xs zx yx xfmln flnm fnml?????????(1-5) 应力状态有三种表示方式如下: (1) 如图 1-2, 在图中表示(2) 应力状态矩阵??????????? z zy zx yzy yx xz xyx??????????][ 该矩阵为一对称阵。(3) 应力向量?? T,,,,, zx yz xyzyx???????? 4、物体内任一点的应变状态过空间一点 P所有方向上的线应变和角应变的集合称为 P点的应变状态,通-5- 过该点作三个相互垂直的线元。该三线元长度改变(线应变)和线元间夹角改变(角应变)的集合就完整地代表了 P 点的应变状态。三个线应变为 zyx???,, ,三个角应变为: zx yz xy???,, .应变状态的表示方式如下: (1) 向量形式?? zx yz xyzyx???????,,,,,?(2) 矩阵形式????????????????? z zy zx yzy yx xz xy x??