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定积分典型例题20例答案.doc


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定积分典型例题 20例答案例1求 3 3 3 2 2 3 21 lim ( 2 ) n n n n n ??? ???. 分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限. 若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0, 1] n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解将区间[0, 1] n 等分, 则每个小区间长为 1 ixn ? ?, 然后把 2 1 1 1 n n n ? ?的一个因子 1n 3 3 3 2 2 3 21 lim ( 2 ) n n n n n ??? ???= 3 3 3 1 1 2 lim ( ) nn n n n n ??? ???= 13034 xdx ??. 例2 2202 x x dx ??= _________ . 解法 1 由定积分的几何意义知, 2202 x x dx ??等于上半圆周 2 2 ( 1) 1 x y ? ??(0y?) 与x 2202 x x dx ??=2 ?. 解法 2 1x?= sin t ( 2 2 t ? ?? ??) ,则 2202 x x dx ??= 222 1 sin cos t tdt ?????= 220 2 1 sin cos t tdt ???= 220 2 cos tdt ??=2 ?例3(1 )若( ) xtx f x e dt ???,则( ) f x ?=___ ;(2 )若 0 ( ) ( ) x f x xf t dt ??,求( ) f x ?=___ . 分析这是求变限函数导数的问题,利用下面的公式即可( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) v x u xd f t dt f v x v x f u x u x dx ? ?? ??. 解(1) ( ) f x ?=2 x x xe e ? ??; (2) 由于在被积函数中 x 不是积分变量,故可提到积分号外即 0 ( ) ( ) x f x x f t dt ??,则可得( ) f x ?= 0 ( ) ( ) x f t dt xf x ??. 例4设( ) f x 连续,且 10 ( ) x f t dt x ???,则(26) f =_________ . 解对等式 10 ( ) x f t dt x ???两边关于 x 求导得 3 2 ( 1) 3 1 f x x ? ??, 故 321 ( 1) 3 f x x ? ?,令 3 1 26 x ? ?得3x?,所以 1 (26) 27 f?. 例5

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