二次曲线的理论及其应用　　　　　　开题报告.doc

二次曲线的理论及其应用开题报告开题报告二次曲线的理论及其应用一、选题的背景、意义解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求. 文艺复兴后的欧洲进入了一个生产迅速发展, 思想普遍活跃的时代. 机械的广泛使用, 促使人们对机械性能进行研究,这需要运动学知识和相应的数学理论;建筑的兴盛、河道和堤坝的修建又提出了有关固体力学和流体力学的问题, 这些问题的合理解决需要正确的数学计算; 航海事业的发展向天文学, 实际上也是向数学提出了如何精确测定经纬度、计算各种不同形状船体的面积、体积以及确定重心的方法, 望远镜与显微镜的发明, 提出了研究凹凸透镜的曲面形状问题. 在数学上就需要研究求曲线的切线问题. 所有这些都难以仅用初等几何或仅用初等代数在常量数学的范围内解决,于是, 人们就试图创设变量数学. 作为代数与几何相结合的产物――解析几何,也就在这种背景下问世了。 1637 年,法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》,这本书的后面有三篇附录,一篇叫《折光学》,一篇叫《流星学》,一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学, 就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。笛卡尔的《几何学》共分三卷,第一卷讨论尺规作图;第二卷是曲线的性质; 第三卷是立体和“超立体”的作图, 但他实际是代数问题, 探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。从笛卡尔的《几何学》中可以看出, 笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学,把算术、代数、几何统一起来。他设想,把任何数学问题化为一个代数问题,在把任何代数问题归结到去解一个方程式。为了实现上述的设想,笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发, 指出平面上的点和实数对的对应关系。的不同数值可以确定平面上许多不同的点, 这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。解析几何的核心思想是通过坐标把几何问题表示成代数形式, 然后通过代数方程来表示和研究曲线. 要做到这一点, 得有数学自身的条件: 一是几何学已出现解决问题的乏力状态; 二是代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度。解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写《几何学》以前,就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系;也有人在研究天文、地理的时候,提出了一点位置可由两个“坐标”(经度和纬度)来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。在数学史上, 一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一, 应该分享这门学科创建的荣誉。费尔马是一个业余从事数学研究的学者, 对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性情谦和, 好静成癖, 对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道,他早在笛卡尔发表《几何学》以前,就已写了关于解析几何的小文,就已经有了解析几何的思想。只是直到 1679 年, 费尔马死后, 他的思想和著述才从给友人的通信中公开发表。笛卡尔的《几何学》, 作为一本解析几何的书来看, 是不完整的,但重要的是引入了新的思想, 为开辟数学新园地做出了贡献。恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想。他说:“数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数, 运动进入了数学, 有了变数, 辩证法进入了数学, 有了变数, 微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生了……”二次曲线