第四讲 矩阵特征性质与计算.doc

第四讲矩阵特征性质与计算 1. 特征计算 2. 特征性质应用于特征值计算、特征向量证明 3. 矩阵相似及其应用 4. 矩阵多项式计算矩阵特征问题来源(1) 空间线性变换的不变方向(特征向量)和不变量(特征值); (2) 矩阵乘方的快速计算(矩阵对角化后,矩阵乘方就是对角矩阵乘方,就容易了) . 这两种说法好像都是正确的. 矩阵特征问题的概念定义 1 设A 是n 阶方阵,若存在数?和n 维非零列向量 x 使得 x Ax??, 则称?为方阵 A 的特征值,非零列向量 x 为方阵 A 的属于特征值?的特征向量. A 的特征行列式: E A ??A 的特征多项式: ( ) f E A ? ?? ?( 关于?的一元 n 次多项式) A 的特征(多项式) 方程: ( ) 0 f E A ? ?? ??( 关于?的一元 n 次方程). A 关于?的特征矩阵: E A ??A 关于?的特征方程组: 0)(??xAE?. 设( ) ij n n A a ??,则 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) nn n n nn a a a a a a f E A a a a ??? ??? ? ?? ? ?? ??? ? ???? ????, 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a ? ?????? ???? ? ?????? ?? ? ????? ?? ? ?????? ?? ?? ?? ? ?????