演示文稿线性系统的可控性与可观测性.ppt

（优选）线性系统的可控性与可观测性
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可控性和可观测性的定义
线性定常连续系统的可控性判据（※）
线性定常连续系统的可观测性判据（※）
对偶原理
必要性：已知系统完全可控，欲证W(0, t1) 非奇异。反设W(0, t1)为奇异，即存在某个非零向量 ，使
其中||·||为范数，故其必为非负。欲使上式成立，必有
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因系统完全可控，根据定义对此非零向量 应有
0
此结果与假设 相矛盾，即W(0, t1)为奇异的反设不成立。因此，若系统完全可控， W(0, t1)必为非奇异。
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2．秩判据（※）
1）凯莱-哈密尔顿定理：设n阶矩阵A的特征多项式为
则矩阵A满足其特征方程，即
2）推论1：矩阵A的k (k≥n)次幂可表示为A的(n-1)阶多项式
注：此推论可用以简化矩阵幂的计算。
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3）推论2：矩阵指数函数可表示为A的(n-1)阶多项式
例3-4：已知 ，计算A100=?
解：A的特征多项式为：
由凯莱-哈密顿定理，得到
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故
根据数学归纳法有
所以：
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4）秩判据（※）
线性定常系统
完全可控的充分必要条件是
其中: n为矩阵A的维数， 称为系统的可控性判别阵。
注：秩判据是一种比较方便的判别方法。
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证明：充分性：已知rankS=n，欲证系统完全可控，采用反证法。反设系统为不完全可控，则有：
为奇异，这意味着存在某个非零n维常向量α使
将上式求导直到(n-1)次，再在所得结果中令t=0，则可得到:
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由于α≠0，所以上式意味着S为行线性相关的，即rankS<n 。这显然与已知rankS=n相矛盾。因而反设不成立，系统应为完全可控，充分性得证。
必要性：已知系统完全可控，欲证rankS=n ，采用反证法。反设rankS<n ，这意味着S为行线性相关，因此必存在一个非零n维常向量α 使
成立。
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（由凯莱—哈密尔顿定理）
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因为已知α≠0 ，若上式成立，则格拉姆矩阵W(0, t1)为奇异，即系统为不完全可控，和已知条件相矛盾，所以反设不成立。于是有rankS=n ，必要性得证。
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例3-6：已知
判断其能控性。
解：系统阶次
，确定出可控判别阵
，所以系统为完全可控。
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例3-7：判断下列系统的可控性
解：
矩阵S的第二行与第三行线性相关，故rankS =2＜3，系统不可控。
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补充：可控性判别矩阵 （※）：
线性定常连续系统的状态方程
其中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；A和B分别为(n×n) 和(n×p)常阵。该线性定常连续系统完全可控的充要条件是：
其中：
注：该方法是秩判据的改进，特别适用于多输入
系统，可减少不必要的计算。
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例3-8：用可控性判别矩阵 判别例3-7所示系统的可控性。
解：n=3, 系统输入向量是2维的列向量，即p = 2。
显见矩阵S3-2的第二行与第三行线性相关，
故