山东省冠县武训高级中学2015高二数学 1-2 第4课时 等比数列的综合应用复习导学案 新人教A版.doc

1 山东省冠县武训高级中学 201 5 高二数学 1-2 第 4 课时等比数列的综合应用复****导学案新人教 A版知能目标解读 1. 进一步巩固等比数列的通项公式、性质及前 n 项和公式. 2. 掌握数列求和的常用方法——错位相减法. 重点难点点拨重点:错位相减法求和的理解及等比数列性质的应用. 难点:错位相减法求和的应用. 学****方法指导如果数列{a n} 是等差数列, 公差为 d; 数列{b n} 是等比数列, 公比为 q, 求数列{a nb n}的前n 项和, 可以运用错位相减法. 方法如下: 设S n=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+…+a nb n,当q =1时,{b n} 是常数列,S n=b 1(a 1+a 2+a 3+…+a n )=2 )( 11naanb?;当q≠1时, 则 qS n= qa 1b 1+ qa 2b 2+ qa 3b 3+…+ qa nb n=a 1b 2+a 2b 3+…+a n-1b n+an b n+ 1,所以 S n- qS n =(1- q)S n=a 1b 1+b 2(a 2-a 1 )+b 3(a 3-a 2 )+…+b n·(a n-a n-1 )-a nb n+ 1=a 1b 1+d·q qqb n???1 )1( 11 -a nb n+ 1, 所以 S n=q baq qdq bba nn n???????1 1 )1( 1 1111 . 知能自主梳理 1. 在等比数列的前 n 项和公式 S n= 中,如果令 A=1 1?q a ,那么 S n=. n 表示数列{a n} 的前 n 项和,且 S n= Aq n-A(A≠0,q≠0且q ≠± 1) ,则数列{a n}是. {a n} 中, S n 为其前 n 项和. (1) 当q =-1 且k 为偶数时, S k,S 2k-S k,S 3k-S 2k(k∈N +); (2) 当q≠-1或k 为奇数时,数列 S k,S 2k-S k,S 3k-S 2k(k∈N +). [答案] qa n??1 )1( 1 Aq n-A 2. 等比数列 3. 不是等比数列是等比数列思路方法技巧命题方向等比数列性质的应用[例 1] (1) 等比数列{a n} ,已知 a 1 =5 ,a 9a 10 =100 ,求 a 18; (2) 在等比数列{b n} 中, b 4 =3 ,求该数列前七项之积; 2 (3) 在等比数列{a n} 中, a 2 =-2 ,a 5 =54 ,求 a 8. [分析] 由等比数列的性质可知: 与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积, 与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方. [解析] (1) ∵a 1a 18=a 9a 10,∴a 18=1 10 9a aa =5 100 =20. (2) b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7 =(b 1b 7 )(b 2b 6 )(b 3b 5)b 4. ∵b 24=b 1b 7=b 2b 6=b 3b 5,∴前七项之积为(3 2) 3× 3=3 7 =2187. (3) 解法一: a 8=a 5q 3=a 5·2 5a a =54 ×2 54 ?=-1458. 解法二: ∵a 5是a 2与a 8 的等比中项, ∴ 54 2=a 8× (-2). ∴a 8 =-1458. [说明] 本题的求解,主要应用了等比数列的性质,若 m,n,k,l ∈N +且 m+n=k +l ,则 a m·a n=a k·a l. 由此可见,在等比数列问题中,合理应用性质,可使解法简捷. 变式应用 1 已知{a n} 是等比数列,且 a 1a 10 =243, a 4+a 7 =84, 求a 11. [解析] ∵a 4·a 7=a 1·a 10,∴a 4a 7 =243, a 4 =81 a 4 =3 又a 4+a 7 =84, ∴,或 a 7 =3a 7 =81 ∴q=3 1 或q =3. ∴a 11 =3 q 4 =3 ×(3 1 ) 4=27 1 或a 11 =81 ×3 4 =6561. 命题方向与前 n 项和有关的等比数列的性质问题[例 2] 各项都是正实数的等比数列{a n} ,前 n 项的和记为 S n,若S 10 =10, S 30 =70, 则S 40等于() B.-200 或-200 或-50 [答案] A [分析] 本题思路较为广泛, 可以运用等比数列前 n 项和公式列方程, 确定基本量 a 1,q 后求解, 也可以应用等比数列前 n 项和的性质求解. [解析] 解法一:设首项为 a 1, 公比为 q ,由题意知 q ≠± qa??1 )1( 10 1 =10 ①由,3 q qa??1 )1(