山东省冠县武训高级中学2015高二数学 2-1 第2课时 余弦定理复习导学案 新人教A版.doc

1 山东省冠县武训高级中学 2015 高二数学 2-1 第 2 课时余弦定理复****导学案新人教 A版知能目标解读 1. 通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握余弦定理,理解用数量积推导余弦定理的过程,并体会向量在解决三角形的度量问题时的作用. 2. 了解余弦定理的几种变形公式及形式. 3. 会从方程的角度来理解余弦定理的作用及适用范围,并会用余弦定理解决“已知三边求三角形的三角”及“已知两边及其夹角求三角形中其他的边和角”等问题. 4. 能熟练应用余弦定理解三角形以及现实生活中的实际问题. 重点难点点拨重点:余弦定理的证明及其应用. 难点:处理三角形问题恰当地选择正弦定理或余弦定理. 学****方法指导一、余弦定理 1. 余弦定理:在△ ABC 中, ∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c ,那么有如下结论: a 2=b 2+c 2 -2 bc cos A,b 2=a 2+c 2 -2 ac cos B,c 2=a 2+b 2 -2 ab cos C. 即三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 这一结论叫做余弦定理,它揭示了任意三角形边角之间的客观规律. 也是解三角形的重要工具. 注意: (1 )在余弦定理的每一个等式中含有四个量,利用方程的思想,可以知三求一. (2 )余弦定理也为求三角形的有关量(如面积,外接圆,内切圆等)提供了工具,它可以用来判定三角形的形状,证明三角形中的有关等式,在一定程度上,它比正弦定理的应用更加广泛. 2. 关于公式的变形: 将余弦定理稍加变形, 可以得到另外的形式, 我们称为余弦定理的推论. 掌握这些表达形式,可以帮助我们深入理解和灵活应用余弦定理. cos A=bc acb2 222??, cos B=ac bca2 222??, cos C=ab cba2 222??. 由上述变形, 结合余弦函数的性质, 可知道: 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么第三边所对的角是直角,如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角为钝角,如果大于第三边的平方, 那么第三边所对的角为锐角. 从这一点说, 余弦定理可以看作勾股定理的推广, 而勾股定理则是余弦定理的特例. 二、余弦定理的证明教材中给出了用向量的数量积证明余弦定理的方法, 是平面向量知识在解三角形中的应用. 另外, 对余弦定理的证明,还可以应用解析法、几何法等方法证明. 证明:方法 1: (解析法)如图所示,以 A 为原点, △ ABC 的边 AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系. 2 则A( 0,0 ),C(b cos A,b sin A ),B (c,0), 由两点间的距离公式得 BC 2=(b cos A-c ) 2 +(b sin A -0) 2, 即a 2=b 2+c 2 -2 bc cos A. 同理可证 b 2=a 2+c 2 -2 ac cos B,c 2=a 2+b 2 -2 ab cos C. 方法 2: (几何法)△ ABC 为锐角三角形时,过 C作 CD ⊥ AB 于D ,则 CD =b sin A, AD=b cos A,BD=AB-AD=c-b cos Rt△ BCD 中, BC 2= CD 2+ BD 2,即a 2=b 2 sin 2A +( c-b cos A) 2. 所以 a 2=b 2+c 2 -2 bc cos A. 同理可证 b 2=a 2+c 2 -2 ac cos B,c 2=a 2+b 2 -2 ab cos C. 如图,当△ ABC 为钝角三角形时,过C作 CD 垂直于 AB 的延长线, 垂足为 D,则 AD = bc os A,CD=b sin A. BD=AD-AB=b cos A-c .在 Rt△ BCD 中, BC 2= CD 2+ BD 2,即a 2=b 2 sin 2A+(b cos A-c ) 2. 所以 a 2=b 2+c 2 -2 bc cos A. 同理可证: b 2=a 2+c 2 -2 ac cos B,c 2=a 2+b 2 -2 ab cos C. 三、余弦定理的应用余弦定理主要适用以下两种题型:(1 )已知三边求三角,用余弦定理,有解时只有一解; (2 )已知两边和它们的夹角,求第三边和其他的角,用余弦定理,必有一解. 注意: 在应用余弦定理求三角形的边长时, 容易出现增解, 原因是余弦定理中涉及的是边长的平方, 求得结果常有两解,因此,解题时需要特别注意三角形三边长度应满足的基本条件. 知能自主梳理 1. 余弦定理(1 )语言叙述: 三角形任何一边的平方等于减去的积的. 3 (2 )公式表达:a 2=;b 2=;c 2=. (3) 变形: cos A=; cos B=; cos C=. 2. 余弦定