山东省冠县武训高级中学2015高二数学 3-3 第1课时 基本不等式复习导学案 新人教A版.doc

1 山东省冠县武训高级中学 201 5 高二数学 3-3 第1 课时基本不等式复****导学案新人教 A版第1 课时基本不等式知能目标解读 1. 理解基本不等式,并掌握基本不等式的几何意义. 2. 掌握基本不等式成立的条件;能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题. 3. 在使用基本不等式过程中,要注意定理成立的条件,在解题时,常采用配凑的方法,创造条件应用均值不等式. 重点难点点拨重点:理解并掌握基本不等式,借助几何图形说明基本不等式的意义,并用基本不等式求最值. 难点:利用基本不等式求最值时, 等号成立的条件. 学****方法指导一、基本不等式 1. 基本不等式: 如果 a,b 都是非负数, 那么 2 ba?≥ab , 当且仅当 a=b 时, 等号成立, 我们称上述不等式为基本不等式. 其中 2 ba?称为 a,b 的算术平均数, ab 称为 a,b 的几何平均数,因此,基本不等式又称为均值不等式. 2. 重要不等式:如果 a,b ∈R, 那么 a 2+b 2≥2 ab (当且仅当 a=b 时,取"="). 证明: a 2+b 2 -2 ab =( a-b ) 2,当a≠b时,( a-b ) 2 >0 ;当 a=b 时,( a-b ) 2= 0. 所以( a-b ) 2≥ 0,即a 2+b 2≥2 ab. 3. 基本不等式的几何解释: 基本不等式一种几何解释如下: 以 a+b 长的线段为直径作圆, 在直径 AB 上取点 C,使 AC=a,CB=b . 过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DD ′,连结 AD 、 DB ,易证 Rt△ ACD ∽ Rt△ DCB ,则 CD 2= CA · CB ,即 CD =ab . 这个圆的半径为 2 ba?,显然,它大于或等于 CD ,即 2 ba?≥ab , 其中,当且仅当点 C 与圆心重合,即 a=b 时,等号成立. 2 以上我们从几何图形中进行了解释,获得了不等式 ab ≤2 ba?(a≥ 0,b≥0). 其实质是:在同一圆中,半径不小于半弦,或者直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高. 4. 关于 a 2+b 2≥2 ab和2 ba?≥ab ( a,b >0 ) (1) 两个不等式:a 2+b 2≥2 ab与2 ba?≥ab 成立的条件是不同的, 前者要求 a,b 都是实数, 后者则要求 a,b :( -3) 2+( -4) 2≥2×( -3)×( -4 )是成立的, 而???? 2 43???≥???? 43???是不成立的. 注意: (1) 要在理解的基础上,记准这两个不等式成立的条件. (2) 两个不等式:a 2+b 2≥2 ab,2 ba?≥ab 都是带有等号的不等式.“当且仅当 a=b 时取‘=’”这句话的含义是“ a=b ”时,a 2+b 2≥2 ab,2 ba?≥ab 中只有等号成立, 反之,若a 2+b 2≥2 ab,2 ba?≥ab 中的等号成立时, 必有“ a=b ”,这一条件至关重要,忽略它,往往会导致解题的失误. (3 )两个不等式的应用两个不等式的结构都是一边为“和式”, 另一边为“积式”, 因此两个不等式都具有将“和式”化为“积式”以及将“积式”化为“和式”的放缩功能,可证明不等式. 利用等号成立的条件,可求最大、最小值. 二、利用基本不等式求最大(小)值利用基本不等式 2 ba?≥ab ,在求某些简单的最大(小)值问题时,很有应用价值. 一般地: x,y 都为正数时, (1 )若 x+y=S (和为定值) ,则当 x=y 时,积 xy 取得最大值 4 2S ; (2 )若 xy=p (积为定值) ,则当 x=y 时,和 x+y 取得最小值 2p . 证明: ∵ x,y 都为正数, ∴2 yx?≥ xy (1) 和式为定值 S 时,有 xy ≤2 S , ∴ xy≤4 1 S 2. 上式当“ x=y ”时取“=”号,因式当 x=y 时,积 xy 有最大值 4 1 S 2;3 (2) 积式 xy 为定值 p 时,有 2 yx?≥p , ∴ x+y ≥2p . 上式当“ x=y ”时取“=”,因此,当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2p . 注意: (1 )在应用均值不等式 ab ≤2 ba?求最值时,需满足三个条件:“一正、二定、三相等”.“正”是所有变量均为正数,“定”是指变量的积或和为定值,“相等”是指等号成立的条件, 以上三者, 缺一不可. (2) 在有关证明或求最值时, 不等式都可连续多次使用, 但需注意的是等号成立是否矛盾, 只有当各次应用基本不等式时"=" 号成立的条件一致时,“=”才会取得,否则"=" 将不成立. 知能自主梳理 1. 基本不等式如果 a,b 都是非负数, 那么, 当且仅当时, 等号成立. 此不等