山东省冠县武训高级中学2015高二数学 3-2 第2课时 一元二次不等式的应用复习导学案 新人教A版.doc

1 山东省冠县武训高级中学 201 5 高二数学 3-2 第 2 课时一元二次不等式的应用复****导学案新人教 A版知能目标解读 1. 能利用一元二次不等式解简单的分式不等式与高次不等式. 2. 利用一元二次不等式解决二次方程根的分布问题. 3. 解决与一元二次不等式有关的恒成立问题. 4. 解决相关实际应用问题. 重点难点点拨重点: 1. 解简单的分式不等式与高次不等式. 2. 解决与一元二次不等式有关的恒成立问题. 难点:利用一元二次不等式解决二次方程根的分布问题. 学****方法指导解不等式的关键问题就是保证转化的等价性. (1 )分式不等式一般先移项通分,然后利用???? xg xf >0( 或<0) 型转化为 f(x)·g(x )>0 (或<0 ) ,再求解. 对于???? xg xf ≥0 (或≤0) ,一定不能忽视去掉 g(x )=0 的情况. (2 )含绝对值号的不等式,可分段去掉绝对值号讨论,也可采用两边平方法,应根据题目条件的特点选取方法.(3 )高次不等式一般分解因式后用标根法求解,但要注意 x 的高次项系数为正. (4 )不等式恒成立求字母取值范围问题: 在给定区间上不等式恒成立,一般地,有下面常用结论: ①f(x )<a 恒成立, ? f(x) max <a;②f(x )>a 恒成立, ? f(x) min>a.(5 )关于二次方程根的分布主要有以下几种常见问题( a≠0 条件下) : ①方程 ax 2+ bx+c =0 有实根,有两不等实根,无实根. 主要考虑判别式Δ和二次项系数 a 的符号. ②方程 ax 2+ bx+c =0 有两正根?方程 ax 2+ bx+c =0 有一正一负两实根? 2 ③方程 ax 2+ bx+c =0 有零根? c =0. ④方程 ax 2+ bx+c =0 有两个大于 n 的根(解法类似于有两正根) ?方程 ax 2+ bx+c =0 有两个小于 k 的根(解法类似于有两负根情形) 方程 ax 2+ bx+c =0 一根大于 k, 另一根小于 k (解法类似于一正一负根的情形) . 则需⑤方程 ax 2+ bx+c =0 两根都在( m、n )内. 则需⑥方程 ax 2+ bx+c =0 一根在( m、n )内,另一根在( n、p )内. 则需方程 ax 2+ bx+c =0 一根在( m,n )内,另一根在( p,q )内. 则需思路方法技巧命题方向分式不等式的解法 3 [例 1] 不等式 273 14 2 2????xx xx <1. [分析] 解分式不等式一般首先要化为???? xg xf >0 (或<0 )的标准形式,再等价转化为整式不等式或化为一次因式积的形式来用" 穿针引线法" ,借助于数轴得解. [解析] 解法一:原不等式可化为 273 132 2 2????xx xx >0?(2x 2 -3x +1)(3 x 2 -7x +2)>0 ?解得原不等式的解集为{ x|x<3 1 或2 1 <x <1 ,或 x >2 }. 解法二:原不等式移项,并因式分解得???????? 213 112????xx xx >0?(2x -1)( x -1)(3 x -1)( x -2)>0, 在数轴上标出(2x -1)( x -1)(3 x -1 )(x -2) =0 的根,并画出示意图,如图所示. 可得原不等式的解集为{ x|x<3 1 或2 1 <x <1 ,或 x >2 }. [说明] 解分式不等式的思路方法是等价转化为整式不等式, 本题的两种解法在等价变形中主要运用了符号法则,故在求解分式不等式时,首先应将一边化为零,再进行求解. 变式应用 1 解不等式: 1 12??x x ≤ 1. [解析] 原不等式?1 12??x x -1≤0?1 2??x x ≤0?故原不等式的解集为{ x |-2≤x <1 }. 命题方向高次不等式的解法[例 2] 解下列不等式: 4 (1)(x +1)(1- x )(x -2)>0; (2) x 3 -2x 2 +3<0; (3) x(x -1) 2(x +1) 3(x +2) ≥ 0. [分析] 通过因式分解, 把高次不等式化为一元一次不等式或一元二次不等式的积的问题, 然后再依据相关性质解答. [解析](1) 原不等式等价于(x -1)( x -2)( x +1)<0, 令y =(x -1)( x -2)( x +1), 当y =0时, 各因式的根分别为 1, 2, -1 ,如图所示可得不等式的解集为{ x|x <-1 或 1< x <2 }. (2 )原不等式可化为( x +1 )(x 2 -3x +3)<0, 而对任意实数 x ,恒有 x 2 -3x +3>0( ∵Δ=( -3) 2 -12<0). ∴原不等式等价于 x +1<0, ∴