山东省冠县武训高级中学2015高二数学 3-3 第2课时 基本不等式与最大复习导学案 新人教A版.doc

1 山东省冠县武训高级中学 201 5 高二数学 3-3 第 2 课时基本不等式与最大复****导学案新人教 A版知能目标解读 1. 进一步巩固基本不等式求最值时成立的条件. 2. 能够运用基本不等式解决实际应用性问题,提高应用数学手段解决实际问题的意识与能力. 重点难点点拨重点:应用基本不等式进行不等式的证明与求最值. 难点: 1. 不等式的综合应用. 2. 逆向不等式的运用. 学****方法指导 1. 注意基本不等式的基本形式是“和的形式≥积的形式”, 还要注意“反向”不等式 2 ba?≤2 22ba?. 在解题中的灵活运用. 2. 注意对字母轮换式的识别,从而通过某种形式的迭加或迭乘使问题获解. 3. 重视化归思想的运用,等式与不等式之间的转化、不等式与不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等等. 要把握准转化的条件,达到化归目的. 知能自主梳理常见的不等式: 2+b 2≥(a、b∈R ). 2. ab≤() 2≤2 22ba?(a、b∈R ). 0< a<b ,m >0, 则mb ma??b a . [答案] ab ba? 3.> 思路方法技巧命题方向不等式的证明技巧?—字母轮换不等式的证法[例 1] 已知 a、b、c 是正实数求证: a bc +b ac +c ab ≥ a+b+c . [分析] 由可要证的不等式两边是三项,而均值不等式只有两项,故可尝试多次使用均值不等式. [证明] ∵a、b、c 是正实数, ∴b aca bc?≥2b aca bc?=2 c( 当且仅当 a bc =b ac ,即 a=b 时,取等号); b ac +c ab ≥2c ab b ac?=2 a( 当且仅当 b ac =c ab ,即 b=c 时,取等号);2 c ab +a bc ≥2a bcc ab?=2 b( 当且仅当 a bc =c ab ,即 a=c 时,取等号). 上面 3 个不等式相加得 2·a bc +2 ·b ac +2 ·c ab ≥2a +2 b +2 c( 当且仅当 a=b=c 时,取等号). ∴a bc +b ac +c ab ≥ a+b+c . [说明] 1. 使用均值不等式时,一定要注意是否满足条件,等号能否成立. 2. 对于证明多项和的不等式时, 可以考虑分段应用均值不等式或其变形, 然后整体相加(乘) 得结论. 变式应用 1 已知 a,b,c 为两两不相等的实数,求证: a 2+b 2+c 2> ab+bc+ca . [解析] ∵a 2+b 2 >2 ab,b 2+c 2 >2 bc,c 2+a 2 >2 ca, 以上三式相加得: 2(a 2+b 2+c 2 )>2 ab +2 bc +2 ca, ∴a 2+b 2+c 2> ab+bc+ca . 命题方向利用均值不等式证明不等式[例 2] 已知 a >0, b >0 ,c >0, 且 a+b+c =1. 求证: cba 111??≥ 9. [解析] 解法一: ∵a >0, b >0, c >0, ∴cba 111??=c cbab cbaa cba????????=3+c bc ab cb aa ca b?????=3+(b aa b?)+(c aa c?)+(c bb c?)≥ 3+2+2+2 = 9. 即cba 111??≥9 (当且仅当 a=b=c 时取等号) . 解法二: ∵a >0, b >0, c >0, ∴cba 111??=( a+b+c )(cba 111??) =1+11???????c bc ab cb aa ca b =3+(b aa b?)+(c aa c?)+(c bb c?)≥ 3+2+2+2 = 9. ∴cba 111??≥9 (当且仅当 a=b=c 时取等号) . [说明] 含条件的不等式证明问题, 要将条件与结论结合起来, 寻找出变形的思路, 构造出均值不等式, 在条件“ a+b+c =1 ”下,1 的代换一般有上面两种情况, 切忌两次使用均值不等式, 用传递性证明, 3 有时等号不能同时取到. 变式应用 2 已知 a、b、c 为正数,求证:a acb??+b bac??+c cba??≥ 3. [解析] 左边= 111????????c bc ab ab ca ca b =???????????????????????c aa cb aa b -3 . ∵ a,b,c 为正数, ∴b aa b?≥2 (当且仅当 a=b 时取“=”);c aa c?≥2 (当且仅当 a=c 时取“=”);c bb c?≥2 (当且仅当 b=c 时取“=”). 从而(b aa b?)+(c aa c?)+(c bb c?)≥6 (当且仅当 a=b =c 时取等号) . ∴???????????????????