山东省冠县武训高级中学2015高二数学 3-4 第2课时 简单线性规划复习导学案 新人教A版.doc

1 山东省冠县武训高级中学 201 5 高二数学 3-4 第 2 课时简单线性规划复****导学案新人教 A版知能目标解读 1. 了解线性规划的意义,掌握目标函数的约束条件,二元线性规划、可行域、最优解等基本概念. 2. 掌握用图解法求方程及解线性规划问题的一般方法及步骤. 重点难点点拨重点:线性规划的有关概念理解及线性目标函数最值的求解方法. 难点:线性目标函数最值(即最优解)求法. 学****方法指导一、简单线性规划的几个概念 1. 目标函数: 我们把要求最大值或最小值的函数 z=ax+by+c 叫做目标函数. 如果目标函数是关于变量的一次函数,则又称该目标函数为线性目标函数. 2. 约束条件: 目标函数中的变量所满足的不等式组称为约束条件. 如果约束条件是关于变量的一次不等式(组) ,又称线性约束条件. 3. 线性规划问题:在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值问题,称为线性规划问题, 也称为二元线性规划问题. 4. 可行解:线性规划问题中,满足线性约束条件的解( x,y )称为可行解. 5. 可行域: 由所有可行解组成的集合称为可行域. 6. 最优解: 可行域内使目标函数取最大值或最小值的解称为最优解, 最优解一定在可行域里面, 一般在边界处取得, 最优解不一定只有一个, 它可以有无数个. 二、目标函数的最值问题在求目标函数 z=ax+by+c 的最值时, 根据 y 的系数的正负, 可分为以下两种情形求最值. 1. 求目标函数 z=ax+by+c,b >0 的最值. 在线性约束条件下,当b >0时, 求目标函数 z= ax+by+c 的最小值或最大值的求解程序为: (1) 作出可行域; (2) 作出直线 l 0: ax+by =0 ; (3) 确定 l 0 的平移方向, 若把 l 0 向上平移, 则对应的 z 值随之增大;若把 l 0 向下平移, 所对应的 z 值随之减小, 依可行域判定取得最优解的点. (4) 解相关方程组, 求出最优解, 从而得出目标函数的最大值或最小值. 2. 求目标函数 z=ax+by+c,b <0 的最值. 在线性约束条件下,当b <0时, 求目标函数 z=ax+by+c 的最小值或最大值的求解程序为: (1) 作出可行域; (2) 作出直线 l 0: ax+by =0; (3) 确定 l 0 的平移方向: 若把 l 0 向上平移, 所得相应 z 值随之减小;若把 l 0 向下平移, 所对应的 z 值随之增大, 依可行域判定取得最优解的点. (4) 解相关方程组, 求出最优解, 从而得出目标函数的最大值或最小值. 注意: 确定最优解的方法:①将目标函数的直线平移, 最先通过或最后通过的顶点便是最优解; ②利用围成可 2 行域的直线的斜率来判断, 若围成可行域的直线 l 1,l 2,…,l n 的斜率分别为 k 1<k 2<…<k n, 且目标函数的斜率为 k, 则当 k i<k<k i+1时, 直线 l i与l i+1 相交的点一般是最优解. 知能自主梳理对于变量 x、y 的约束条件,都是关于 x、y 的一次不等式,=f( x,y ) 是欲达到的最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式,叫做,当f(x、y)是 x,y 的一次解析式时,z=f(x、 y) 叫做. 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,称为; 满足线性约束条件的解( x,y )叫做;由所有可行解组成的集合叫做; 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做. [答案] 线性约束条件目标函数线性目标函数线性规划问题可行解可行域最优解思路方法技巧命题方向求线性目标函数的最值问题 x -4y≤-3 [例 1]设Z =2 x+y ,式中变量 x,y 满足条件 3x +5 y≤ 25,求Z ≥1 [分析] 由于所给约束条件及目标函数均为关于 x,y 的一次式,所以此问题是简单线性规划问题, 使用图解法求解. [解析] 作出不等式组表示的平面区域(即可行域) ,如图所示. 把Z =2 x+y 变形为 y= -2 x+Z ,得到斜率为-2 ,在 y 轴上的截距为 Z ,随 Z 变化的一族平行直线. 由图可看出,当直线 Z =2 x+y 经过可行域上的点 A 时,截距 Z 最大,经过点 B 时,截距 Z 最小. x -4y +3=0 解方程组,得 A 点坐标为( 5,2), 3x +5 y -25=0 x =1 解方程组,得 B 点坐标为( 1,1), x -4y +3=0 所以 Z max =2 × 5+2=12 ,Z min =2 × 1+1=3. [说明] 由本题的求解可以发现, 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域, 准确地理解 Z 的几何意义,线性规划最优解一般是在可行域的边界处取得. 3 x+