【课堂新坐标】2015届高考数学新一轮复习 详细分类题库 考点44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用（文、理）（含详解，13高考题）.doc

1 考点 44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、选择题 1.( 2013 · 四川高考理科·T6) 抛物线 24 y x ?的焦点到双曲线 2213 yx ? ?的渐近线的距离是() (A)12 (B)32 (C)1 (D)3 【解题指南】本题考查的是抛物线与双曲线的基本几何性质, 在求解时首先求得抛物线的焦点坐标, 然后求得双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式进行求解即可. 【解析】选B, 由抛物线 24 y x ?的焦点(1, 0) , 双曲线 2213 yx ? ?的一条渐近线方程为 3 0 x y ? ?, 根据点到直线的距离公式可得 32 d?,故选 B. 2.( 2013 · 山东高考文科·T 11) 与( 2013 · 山东高考理科·T 11) 相同抛物线 C 1: y=12p x 2 (p> 0) 的焦点与双曲线 C 2:2213 xy ? ?的右焦点的连线交 C 1 于第一象限的点 M. 若C 1 在点 M 处的切线平行于 C 2 的一条渐近线,则 p=() C. 2 3 3 D. 4 3 3 【解题指南】本题考查了圆锥曲线的位置关系, 可先将抛物线化成标准方程, 然后再利用过交点的切线平行于 C 2 的一条渐近线, 求得切线斜率, 进而求得 p 的值. 【解析】选D. 经过第一象限的双曲线的渐近线为 33 y x ?. 抛物线的焦点为(0, ) 2 pF , 双曲线的右焦点为 2 (2, 0) F .1' y x p ?, 所以在 200 ( , ) 2 x M x p 处的切线斜率为 33 ,即0 1 3 3 xp ?, 所以 033 x p ?, 即三点(0, ) 2 pF ,2 (2, 0) F ,3 ( , ) 3 6 p M p 共线,所以 0 6 2 2 0 2 33 p p pp ????,即 4 3 3 p?. 二、填空题 3.( 2013 · 江西高考理科·T 14) 抛物线 x 2 =2 py(p>0) 的焦点为 F, 其准线与双曲线 2 2 x y 1 3 3 ? ?相交于 A,B 两点,若△ ABF 为等边三角形,则 p= ___________ . 2 【解题指南】 A、B、F 三点坐标都能与 p 建立起联系,分析可知△ ABF 的高为 P ,可构造 p 的方程解决. 【解析】由题意知△ ABF 的高为 P,将py2 ??代入双曲线方程得 A,B 两点的横坐标为 2p x 3 4 ???, 因为△ ABF 为等边三角形,所以 02p tan60 p34 ??,从而解得 2 p 36 ?,即 p 6 ?. 【答案】 6. 4.( 2013 · 安徽高考理科·T 13) 已知直线 y a = 交抛物线 2 y x = 于, A B 两点。若该抛物线上存在点C ,使得∠ ACB 为直角,则 a 的取值范围为___________ 【解题指南】点C 的轨迹是圆心在 y 轴上、半径为 r a = 的圆,数形结合可得。【解析】联立直线 y a = 与抛物线 2 y x = 得, x a =± , 满足题设条件的点 C 的轨迹是以 a(0,) 为圆心, r a = 为半径的圆,其方程为 2 2 2 + ? ?() x y a a 。由数形结合可知当 r = a ≤a 时满足题设要求,解得 a≥1 。【答案】[1,+ ∞) . 三、解答题 5.( 2013 · 北京高考理科·T 19) 已知 A、B、C 是椭圆 W:2214 xy ? ?上的三个点,O 是坐标原点. (1) 当点 B是W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积. (2) 当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 【解题指南】(1 )利用 OB 的垂直平分线求出 AC 的长,再求面积; (2 )若是菱形,则 OA=OC ,A 点与 C 点的横坐标相等或互为相反数。【解析】(1 )线段 OB 的垂直平分线为 1x?, 3 3 (1, ), (1, ) 2 2 A C ?所以或 3 3 (1, ), (1, ) 2 2 A C 所以, | | 3 AC ?所以,所以菱形面积为 12 |OB| · |AC|= 12 ×2×3 =3 . (2) 四边形 OABC 不可能是菱形, 只需要证明若 OA=OC ,则A 点与 C 点的横