数列前n项和的常用求法 习题课 学案 （苏教版必修5）.doc

****题课 1 数列前 n 项和的常用求法【课标要求】 1????????????????????????????????????????? 2 ???????????????????????????? 3 ?????????????【核心扫描】 1 ???????????( 重点) 2 ???????????( 难点) 题型一拆项法( 分组求和法) 【例 1】??? S n?3? 33? 333 ??? 33?3 n ?[ 思路探索] 本题主要考查通项公式以及利用公式法求和, 可先归纳出通项公式然后进行求和. 解?? 3,33,333 ?????? a n? 33?3 n ?? 13 (10 n? 1)??S n? 13 ?(10 ? 1)? 13 ?(10 2? 1)??? 13 ?(10 n? 1) ? 13 ?(10 ? 10 2??? 10 n)? n3 ? 13 ? 10?1? 10 n?1? 10 ? n3? 10 27 (10 n? 1)? n3 . 规律方法将非特殊数列的求和问题转化为等差( 等比) 数列的求和问题, 是一种有效的解题方法. 【训练 1】??? 1?1? 1a ?4? 1a 2?7? 1a 3? 10??? 1a n ?1?(3n? 2)???? n ???解??????? a n ?? n ??? S n??a n? 1a n ?1?(3n? 2) ?S n?(1? 1a ? 1a 2??? 1a n ?1)?[1?4?7?…?(3n? 2)] ?a?1 ?? S n?n??1?3n?2?n2 ? 3n 2?n2 ?a?1 ?? S n? 1? 1a n1? 1a ??1?3n?2?n2 ? a n?1a n?a n ?1??3n?1?n2 . ??? S n? 3n 2?n2 ?a?1?? a n?1a n?a n ?1??3n?1?n2 ?a?1?. 题型二裂项法( 通项展开法) 【例 2】????{a n}? 11 ? 11?2 ? 11?2?3 ??? 11?2?3???n ??????? n ???[ 思路探索] 我们先看通项 a n= 11+2+3+?+n = 2n?n+1?,然后将 2n?n+1?分裂成 2( 1n - 1n+1 ) 求和. 解?a n? 2n?n?1?? 2( 1n ? 1n?1 )??S n?a 1?a 2?a 3???a n? 2[(1 ? 12 )?( 12 ? 13 )???( 1n ? 1n?1 )] ? 2(1 ? 1n?1 )? 2nn?1 . 规律方法如果数列的通项公式可转化为 f(n+ 1)-f(n) 形式,常采用裂项求和的方法,特别地,当数列形如{ 1a na n +1} ,其中{a n} 为等差数列时,: 1n?n+k?= 1k ( 1n - 1n+k ); 1n?n+1 ??n+2?= 12 [ 1n?n+1?- 1?n+1 ??n+2?]; 1n+n+k = 1k ( n+k- n); 1a+b = 1a-b (a-b). 【训练 2】??? 11?2 ? 12?3 ??? 1n?n?1 ???? n ???解?a n? 1n?n?1 ?n?1?n??S n? 11?2 ? 12 ?3 ??? 1n?n?1 ?( 2? 1)?( 3?