数学人教B版必修4：1.2任意角的三角函数（一） 课件.ppt

任意角的三角函数(一) : 在直角三角形 ABC 中,角 C是直角,角 A为锐角,则用角 A的对边 BC ,邻边 AC 和斜边 AB 之间的比值来定义角 A的三角函数. sin BC A AB ? cos AC A AB ? tan BC A AC ? C B A cot AC A BC ?知识回顾 : 以坐标原点为角α的顶点,以 OX 轴的正方向为角α的始边, 则角α的终边落在直角坐标系的第一象限内,若点 P (x,y)是角α终边上的任意一点,点 P到原点 O的距离是,试将角α的三角函数用 x、y、r的式子表示出来 2 2 0 r x y ? ??? r y x M P y x O sin , cos , tan , cot . y x r r y x x y ? ?? ?? ?? ?探究: 当?推广到任意角后,你觉得这些关系式还能适用吗? 任意角的三角函数: (1)确立任意角α在直角坐标系中的位置: 以坐标原点为角α的顶点,以 OX 轴的正方向为角α的始边; (2)在其终边上取点 A,使 OA =1 ,点 A的坐标为(l, m), 再任取一点 P(x,y),设点 P到原点的距离为 r, OP =r (r≠0),根据三角形的相似知识得: lr x? mr y?l mx y? m l A ? r y x P y x O因为 A、P在同一象限内,所以它们的坐标符号相同,因此得 lr x? mr y?l mx y?当P在α的终边上的位置变化时,这三个比值发生变化吗? 思考: 叫做角α的余弦,记作 cos α,即 r x cos xr ??叫做角α的正弦,记作 sin α,即 r y sin yr ??叫做角α的正切,记作 tan α,即 x y tan yx ??依照上述定义,对于每一个确定的角α,都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应: 当α≠2kπ± (k∈ Z)时,它有唯一的正切值与之对应. 因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数,分别叫做角α的余弦函数、正弦函数和正切函数。 2 ?角α的其他三种函数: 角α的正割: 1 sec cos rx ??? ?角α的余割: 1 csc sin ry ??? ?角α的余切: 1 cot tan xy ??? ? 4. 几点说明: (1) 这里提到的角α是“任意角”,当β=2 kπ+α(k∈ Z)时, β与α的同名三角函数值应该是相等的, 即凡是终边相同的角的三角函数值都相等。(2) 定义中只说怎样的比值叫做α的什么函数, 并没有说α的终边在什么位置(终边在坐标轴上除外),即函数的定义与α的终边位置无关。实际上,如果终边在坐标轴上,上述定义同样适用。(3) 三角函数是以“比值”为函数值的函数。 r y r y (4) 对于正弦函数 sin α= , 因为 r >0 ,α取任意实数, 恒有意义,所以正弦函数的定义域是 R;类似地可写出余弦函数的定义域是 R; 对于正切函数 tan α= , 因为 x =0 时, 无意义, 又当且仅当α的终边落在 y轴上时,才有 x =0 ,所以当α的终边落不在 y轴上时, 恒有意义,即 tan α= 恒有意义,所以正切函数的定义域是{α|α≠kπ+ (k∈Z)} yx x y x yx y2 ?从而三角函数的定义域列表如下: 三角函数 定义域 sina R cosa R tana | , 2 k k Z ????? ?? ??? ?? ? P(2,- 3),求α的六个三角函数值。解:因为 x =2 ,y=-3,所以 13 r? sin α= 3 13 13 yr ?? cos α= 2 13 13 xr ? tan α= 32 yx ?? cot α= 23 xy ?? sec α= 13 2 rx ? csc α= 13 3 ry ??变式: (1) 角α的终边落在直线 3x+2y=0 上,求α的三角函数值.(2) 角α的终边经过点(2a,-3),cos α= 求a的值. 2 13 13