高中数学－反函数.ppt

高中数学反函数反函数于无声处听惊雷,于细微处见功夫! 反函数反函数乘3减2 AB 1234…… 14710……映射的例子:A=R,B=R, f:乘3减 2 映射的例子:A=R,B=R, f:乘3减 2 ②这个映射是有方向的: ②这个映射是有方向的: ①这个映射所决定的函数是: ①这个映射所决定的函数是: y = 3 x ?2 y = 3 x ?2 f :A B ( f :xy = 3 x? 2) f :A B ( f :xy = 3 x? 2) ③如果把方向“倒过来”呢?映射为: f ?1: B A ③如果把方向“倒过来”呢?映射为: f ?1: B A )3 2:( 1????yxyf的反函数。在这里,函数在这里,函数称作函数 y = 3 x ?2 3 2?? yx加2除以 3 AB 1234…… 14710…… x为自变量, y为函数。 y为自变量, x为函数。这个映射所决定的函数是: 3 2?? yx 平方 AB -11 -22 -33 149从A到B形成映射, 如果把方向“倒过来”呢? 从B到A不能形成映射,因而只有 x与y是一一对应的函数才有反函数。从A到B形成映射, 如果把方向“倒过来”呢? 从B到A不能形成映射,因而只有 x与y是一一对应的函数才有反函数。求平方根 AB -11 -22 -33 149反函数定义: 设函数 y=f(x)的定义域、值域分别为 A、 y表示 x,得到x=φ(y),且对于 y在C中的任何一个值,通过 x=φ(y),x在 x=φ(y)(y∈C) 叫做函数 y=f(x)(x∈A) x=f -1(y)一般改写为:y=f -1(x)。)( 1?f即?反函数定义: 设函数 y=f(x)的定义域、值域分别为 A、 y表示 x,得到 x= φ(y),且对于 y在C中的任何一个值,通过 x=φ(y), x=φ(y)(y∈C)叫做函数 y=f(x)(x∈A) x=f -1(y),一般改写为 y=f -1(x)。由此可知:原函数的定义域就是反函数的值域。原函数的值域就是反函数的定义域。?????? xfyyfxxfy 1 1???????定义域定义域值域值域 y =f (x ) = 3 x ?2 3 2)( 1?????yyfx3 2)( 1?????xxfy )( 1?f即????? yfxxfy 1???????? xfyyfx 1???? y = 3 x ?2与互为反函数,那么这两个式子有什么关系呢?我们给一个 x值,都能够算出同样的 y 值,我们给一个 y值, 也能够算出同样的 x 值,这两个式子是等价的。将改写为呢? 3 2?? yx3 2?? xy 3 2?? yx3 2)(23)( 1????????yyfxxxfy?3 2)( 1????xxfy23)(???yyfx)(), ),(),( 1yfxbaxfyba ???也满足则( 满足若)(), ),(),( 1yfxabxfyab???也满足则( 满足 3 13)()(yyfxxf????3 13)()(xxfyyf????例 .求函数 y=x 3(x∈R)(x?R), 3xy?解法 1: 3yx?得)( 3Rxxy??原函数的反函数为 3 13)(,)(yyfxxf???3 1)(xxf??函数 3xy?(x?R)交换 x与y的解法 2: 3yx?位置得)( 3Rxxy??进而得 3)(xxf? 3)(yyf? 3 1)(xxf??)( 3Rxxy??原函数的反函数为 3 13)()(yyfxxf????3 13)()(xxfyyf????将改写为呢?它们的图形关于直线 y=x对称。导致原函数图象与反函数图象关于直线 y=x对称的是将“x=f -1(y)改写为y=f -1(x)”这一步。 3 2?? xy3 2?? yx 点P(a,b)关于直线 y=x对称的对称点 P’的坐标为(b, a)。???? yfxxfy 1???????? xfyyfx 1???? y = 3 x ?2与互为反函数,我们给一个 x值,都能够算出同样的 y 值,我们给一个 y值,也能够算出同样的 x值,这两个式子是等价的。如果在平面直角坐标系中,都以 x值为横坐标,以 y 值为纵坐标,他们的图形是一致的。 3 2?? yx????表示的图形是一致的。在平面直角坐标系中所与yfxxfy 1???????表示的图形是一致的。在平面直角坐标系中所与xfyyfx 1???前两者图形与后两者图形关于直线 y=x对称。 0 x y y =3 x -2 y=xx=3y-2 3 2