高中数学-函数与方程.ppt

高中数学函数与方程引例: 已知二次函数 y=x 2 -x-6 ,试问 x取哪些值时, y=0 ? 一、函数的零点即求二次方程 x 2 -x-6=0 的所有根解此方程得 x 1 =-2 ,x 2 =3 ( ) y f x a ?如果函数在实数处的函数等于零, 即 f(a)=0, 则a叫做这个函数的零点。 1、函数零点的概念【注】(1) 函数的零点指的是一个实数,当函数的自变量取这个实数时, 其函数值为零; (2) 函数的零点有时也可以理解为一个函数的图像与x轴的交点; (3) 我们只讨论函数的实零点。函数的零点就是方程f(x)=0 的实数根,因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断相应的的方程f(x)=0 是否有实数根,有几个实数根. ( ) 0 ( ) ( ) f x f x x f x ? ? ?方程有实根函数的图像与轴有交点函数有零点解方程 f(x)= 函数 f(x) 零点0所得的实根就的求法: 是零点;2、函数的零点与方程的根的关系引例:已知二次函数 y=x 2 -x-6 , -23 ( 2,3), 0; ( , 2) (3, ) , 0; x y x y ?? ?????????当当时二次函数零点的性质: (1)当函数的图像通过零点并且穿过 x轴时, 函数值变号; (2)两个零点把 x轴分成三个区间: (-∞, -2),( -2,3),( 3,+ ∞),在每个区间上函数值保持同号。 02 【注】若函数为 y=(x-2) 2,则 x=2 叫做函数的二重零点,函数图像通过二重零点时,函数值不变号。 3、函数图像连续时函数零点的性质: 1()如果函数的图像是连续的,那么当它通过零点(不是二重零点)时,函数值变号; 但如果一个二次函数有一个二重零点,那么它通过这个二重零点时,函数值的符号并不改变; (2)如果函数的图像是连续的,那么在两个相邻的零点之间的所有函数值保持同号。 0 ( , ), ( ) 0, a b f x ? ?? 0如果函数 y=f(x) 在一个区间[a,b] 上的图像不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即 f(a)f(b)<0, 则这个函数在这个区间上至少有一个零点,即存在一点x使这样的零点称作,有时曲线通过零点时不变号,这样的零点变号零点不称作变号零点。4、变号零点与不变号零点 abx 0x 1x 2 如图: x 0,x 2为变号零点, x 1为不变号零点二分法是一种求函数变号零点近似解的一种计算方法。二、二分法零点存在判定法则( ) [ , ] f x a b ??如果函数y=在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)f(b)<0, 那么,函数y=f(x) 在区间(a,b )内有零点, 即存在 c (a,b), 使得f(c)=0, 这个c也就是方程f(x)=0 的根. 例: 不解方程,如何求方程 x 2 -2x -1=0 的一个正的近似解.(精确到 ) 方法探究- + 2 3 f(2)<0 , f(3)>0 2<x 1 <3 ?- + 2 3 f(2)<0 , f()>0 2<x 1 < ?- + 2 3 f()<0 , f()>0 <x 1 < ?- + 2 3 f()<0 , f()>0 <x 1 < ?- + 2 3 f()<0 , f()>0 <x 1 < ?, m m= 2 a b a b ?设的中点为, 则中点公式: 因为 和 的近似值都为 ,所以 f() ≈ 0,即方程的根约为