高中数学－正弦、余弦定理及解斜三角形应用举例.ppt

高中数学正弦定理、余弦定理及解斜三角形正弦定理、余弦定理及解斜三角形于无声处听惊雷,于细微处见功夫! 正弦定理、余弦定理及解斜三角形正弦定理、余弦定理及解斜三角形在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等. 即: 正弦定理: . sin sin sinC cB bA a??:余弦定理: a 2 = b 2 + c 2? 2bc cos A;b 2 = c 2 + a 2? 2 ca cos B;c 2 = a 2 + b 2? 2ab cos C. 正弦定理另两种证法: b c a 2R c1 B A C b c a 2R 作直径BC 1 , 连接AC 1 ,RT ABC 1中, c sinC 1 =2 R , ?C 1= ?C或 180 ?- ?C 1= ?C, 则有 c sinC =2 R , 同理 a sinA = b sinB = c sinC =2R c1 B A C b c a 2R 作直径BC 1 , 连接AC 1 ,RT ABC 1中, c sinC1 =2 R , ?C 1= ?C或 180 ?- ?C 1= ?C, 则有 c sinC =2 R , 同理 a sinA = b sinB = c sinC =2R c1 B A C设△ ABC 外接圆半径为 R. b a h cD A C B b a h c D A C B S ABC= 12 ch ,又h=b sinA , 因而S ABC= 12 bc sinA 。同理,S ABC= 12 bc sinA= 12 acsinB= 12 absinC 。则有 a sinA = b sinB = c sinC 。设△ ABC 中 AB 边上的高为 h。 a:b:c = sin A: sin B: sin C. a = 2 R sin A,b = 2 R sin B,c = 2 R sin C; RC cB bA a2 sin sin sin ???(外接圆直径); S ? ABC = ab sin C = bc sin A = ca sin B. 2 12 12 1这些结论可作公式使用. 余弦定理的变形: 由a 2 = b 2 + c 2? 2bc cos A;b 2 = c 2 + a 2? 2 ca cos B;c 2 = a 2 + b 2? 2ab cos C可得: 2 2 2 cos ; 2 b c a Abc ? ?? 2 2 2 cos ; 2 a c b Bac ? ?? 2 2 2 cos . 2 a b c Cab ? ??利用正弦定理可以解什么类型的三角形问题: 已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角; 已知两边和其中一边的对角, 可以求出三角形的其他的边和角. ; C cB bA a sin sin sin ??a 2 = b 2 + c 2? 2bc cos A 利用余弦定理可以解决的三角形问题: 已知三角形三边求角;已知两边和它们的夹角,求第三边. (1) 若A为锐角,则????????????)( ),( sin )( sin sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解 ba baAb Aba Aba b a b a ba b a a 已知边 a,b和? A 仅有一个解有两个解仅有一个解无解 a?b CH= bsinA<a<b a= CH= bsinA a<CH= bsinA A C B A C B1 A B A C B2 C H H H (2) 若A为钝角,则?????)( 锐角一解无解 ba ba