江苏省2013届高考数学（苏教版）数学思想方法专题2 数形结合思想.doc

江苏省 2013 届高考数学( 苏教版) 数学思想方法专题 2 数形结合思想数与形是数学研究的两个重要方面, 在研究过程中, 数形结合既是一种重要的数学思想, 又是一种常用的数学方法. 数形结合是历年高考的重点和热点. 数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面, 其中“以形助数”是其主要方面, 其方法的关键是根据题设条件和探求目标, 联想或构造出一个恰当的图形, 利用图形探求解题途径, 对于填空题可以简捷地直接获得问题的结果, 对于解答题要重视数形转换的等价性论述, 避免利用图形的直观性代替逻辑推理得到结果.“数缺形时少直观,形少数时难入微”,利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质. 函数的图象、方程的曲线、集合的韦恩图或数轴表示等,是“以形示数”,而解析几何的方程、斜率、距离公式、向量的坐标表示等则是“以数助形”,还有导数更是数形结合的产物,这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台. 1 .设命题甲: 0< x <3 ,命题乙: |x- 1|<4 ,则甲是乙成立的________ 条件. 解析: 将两个命题用数轴表示, 如图: 从图中可以看出, 命题甲是命题乙的充分不必要条件. 答案: 充分不必要 2 .已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心均为坐标原点,它们的焦点在 x 轴上,左、右焦点分别为 F 1、F 2, 且它们在第一象限的交点为 P,△ PF 1F 2 是以 PF 1 PF 1= 10 ,双曲线的离心率的取值范围为(1,2) ,则椭圆的离心率的取值范围是________ . 解析: 如图,由题意知 PF 1= 10, PF 2=2c ,且 PF 1> PF 2. 双曲线的离心率 e 双= 2c2a 双= 2c PF 1- PF 2= 2c 10-2c = c5-c , 又e 双∈(1,2) , 所以 1< c5-c <2 ,得 32 < 5c <2 ; 椭圆的离心率 e 椭= 2c2a 椭= 2c PF 1+ PF 2= 2c 10+2c = c5+c = 15c +1 ,所以 e 椭∈ 13 , 25 . 答案: 13 , 25 3. 设函数 y=f(x) 是最小正周期为 2 的偶函数,它在区间[0,1] 上的图象为如图所示的线段 AB ,则在区间[1,2] 上, f(x)= ________. 解析:法一: 由y=f(x) 是最小正周期为 2 的函数,得到函数 y =f(x) 在区间[1,2] 上的图象为如图所示的线段 BD . 函数 y=f(x) 在区间[1,2] 上的图象是经过 B (1,1) ,D (2,2) 的线段, 由待定系数法,求得 f(x)=x(x∈[1,2] ). 法二:当x∈[0,1] 时,f(x) =- x+2;当x∈[- 1,0] 时,f(x)=f(- x) =- (-x)+2=x+ 2(0 ≤-x≤ 1), 由最小正周期为 2, 得当 x∈[1,2] 时, f(x)=f(x- 2)=(x- 2)+2=x. 答案: x4. 若方程 lg( -x 2+3x-m)= lg(3 -x)在x∈(0,3) 内有两个不同的解, 则实数 m 的取值范围是________ . 解析: 原方程可化为- (x- 2) 2+1=m (0< x <3) , 设y 1 =- (x- 2) 2+ 1(0< x <3) ,y 2=m. 在同一坐标系中画出它们的图象( 如图) .由原方程在(0,3) 内有两解, 知y 1与y 2 的图象只有两个公共点,可见 m 的取值范围是(0,1) . 答案: (0,1) 5 .已知函数 f(x)= log 2(x+ 1) ,且 a>b>c >0 ,则 f?a?a , f?b?b , f?c?c 的大小关系是________ . 解析: 作出函数 f(x)= log 2(x+ 1) 的图象,如图,而 f?x?x 的几何意义是图象上的点与坐标原点连线的斜率,由图象可知 f?a?a < f?b?b < f?c?c . 答案: f?a?a < f?b?b < f?c?c[ 典例 1] 已知 a,b 为不共线的向量, 设条件 M:b⊥(a-b); 条件 N: 对一切 x∈R, 不等式|a- xb|≥|a-b| M是N的________ 条件. [ 解析] 法一: 构造直角三角形 OAB , 其中 a= OA ―→,b= OB ―→,xb= OD ―→,则 a-b= BA ―→,由 b⊥(a-b)得∠ ABO = 90°. 当点 D 与点 B 不重合时,由斜边大于直角边得|a-xb |>|a-b|; 当点 D 与点 B 重合时|a-xb|=|a-b |. 反之也成立,故 M是N 的充要条件. 法二: 将不等式|a-xb|≥|a-b| 两边平方后转化