江苏省2013届高考数学（苏教版）数学思想方法专题3 转化与化归思想.doc

江苏省 2013 届高考数学( 苏教版) 数学思想方法专题 3 转化与化归思想化归就是转化和归结, 它是解决数学问题的基本方法, 在解决数学问题时, 人们常常是将需要解决的问题, 通过某种转化手段, 归结为另一个相对较容易解决的或者已经有解决模式的问题, 以求得问题的解答. 中学数学处处都体现出化归的思想, 如化繁为简、化难为易、化未知为已知,化高次为低次等,它是解决问题的一种最基本的思想. (x)是R 上的奇函数,f(x+ 2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f () 等于________ . 解析: 由f(x+ 2)=f(x) 知, f(x) 的周期为 2 ,所以 f () =f(- ) =- f () =- . 答案: - ,n,p,q∈R且m 2+n 2=a,p 2+q 2=b, ab≠0,则 mp + nq 的最大值是________ . 解析:( mp + nq) 2=m 2p 2+2 mpnq +n 2q 2≤m 2p 2+m 2q 2+n 2p 2+n 2q 2=(m 2+n 2 )(p 2+q 2)= ab. 所以- ab≤ mp + nq≤ ab ,当且仅当 mq = np 时等号成立. 答案: ab 3. 如图, 把椭圆 x 2 25 + y 2 16 =1 的长轴 AB 分成 8 等份, 过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P 1,P 2,P 3,P 4,P 5,P 6,P 7七个点, F 是椭圆的一个焦点,则 P 1F+P 2F+P 3F+P 4F+P 5F+P 6F +P 7F= ________. 解析: 设椭圆的另一个焦点为 F′, 根据椭圆的对称性知,P 1F+P 7F=P 1F+P 1F′=2a, P 2F+P 6F=P 3F+P 5F=2a,又|P 4F|=a,∴P 1F+P 2F+P 3F+P 4F+P 5F+P 6F+P 7F=7a= 35. 答案: 35 4. 已知关于x 的方程x 2+2a log 2(x 2+ 2)+a 2-3=0 有惟一解, 则实数a 的值为________ . 解析: 令f(x)=x 2+2a log 2(x 2+ 2)+a 2-3 ,显然 f(x) 是偶函数,方程 f(x)=0 要有惟一实根, 则此根必为 x=0,故2a+a 2-3=0, 解得 a=1或a =- 3,当a =- 3时, 易知方程 f(x) =0 不止有一个实根,故 a= 1. 答案: 15. 已知三棱锥 S- ABC 的三条侧棱两两垂直, SA =5, SB =4, SC =3,D为 AB 的中点, E为 AC 的中点,则四棱锥 S- BCED 的体积为________ . 解析: 由S △ ADE = 14 S △ ABC ,得 V S - BCED = 34 V S - ABC = 34 V A - BSC = 34 × 13 × 12 × SB × SC × SA = 152 . 答案: 152[ 典例 1] (1) 如图, 直三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中, AB =1, BC =2, AC =5, AA 1=3, M 为线段 BB 1 上的一动点,则当 AM + MC 1 最小时,△ AMC 1 的面积为________ . (2) 若不等式 x 2 108 + y 24 ≥ xy3 k 对于任意正实数 x,y 总成立的必要不充分条件是 k∈[m ,+ ∞) ,则正整数 m 只能取________ . [ 解析] (1) 将侧面展开后可得:当 A、M、C 1 三点共线时, AM + MC 1 最小, 又 AB ∶ BC =1∶2, AB =1, BC =2, CC 1=3 ,所以 AM =2, MC 1=22. 又在原三棱柱中 AC 1= 9+5= 14, 所以 cos ∠ AMC 1= AM 2+C 1M 2- AC 212 AM ·C 1M = 2+8- 14 2×2 ×22 =- 12 ,故 sin ∠ AMC 1= 32 . 所以三角形面积为 S= 12 ×2×22× 32 =3. (2) 由 x 2 108 + y 24 ≥ xy3 k(x >0 ,y >0) ? 1 xy x 2 108 + y 24 ≥ 13 k? x 108 y + y4x ≥ 13 k, 所以 13 k 小于等于 x 108 y + y4x (x >0 ,y >0) 的最小值, 因为 x 108 y + y4x ≥2 x 108 y · y4x = 1 108 ( 当且仅当 x 2= 27y 2 时取等号), 所以 3 k≥ 108 = 27×4=2×3 32 ? log 33 k≥ log 3 (2×3 32 )?k