江苏省2013届高考数学（苏教版）数学思想方法专题4 函数与方程思想.doc

江苏省 2013 届高考数学( 苏教版) 数学思想方法专题 4 函数与方程思想纵观近几年的高考试题, 对函数与方程等数学思想方法的考查, 一直是高考的重点内容之一. 在高考试卷上,与函数相关的试题所占比例始终在 20% 左右,且试题中既有灵活多变的客观性试题, 又有一定能力要求的主观性试题. 函数与方程思想是最重要的一种数学思想, 高考中所占比重比较大,综合知识多、题型多、应用技巧多. 在高中新课标数学中,还安排了函数与方程这一节内容,可见其重要所在. 在近几年的高考中, 函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等, 方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次: ?1?解方程; ?2?含参数方程讨论; ?3?转化为对方程的研究, 如直线与圆、圆锥曲线的位置关系,函数的性质,集合关系; ?4?构造方程求解. 预测 2013 年高考对本讲考查趋势:函数的零点问题、二次函数、二次方程、 .关于 x 的方程 sin 2x+ cos x+a=0 有实根,则实数 a 的取值范围是________ . 解析: a =- sin 2x- cos x= cos x- 12 2- 54 ,最小值为- 54 ,最大值为 1. 所以 a 的范围是- 54 ,1. 答案: - 54 ,12 .在等差数列{a n} 中,已知 a 5= 10,a 12= 31 ,则通项 a n= ________. 解析: 显然公差不为零,故通项为 n 的一次函数, 设a n= an+b,a,b 为常数,由题意得 5a+b= 10, 12a+b= 31, 解得 a=3, b =- 5, ∴a n=3n- 5. 答案: 3n-53 .若 a,b 是正数,且满足 ab=a+b+3 ,则 ab 的取值范围是________ . 解析:法一: ∵ ab=a+b+3,a≠1,∴b= a+3a-1 . 而a >0 , a+3a-1 >0 ,∴a >1. ∴ ab=a· a+3a-1 = ?a-1? 2+5?a-1?+4a-1 =(a- 1)+ 4a-1 +5≥ 9. 当且仅当 a-1= 4a-1 ,即 a=3 时取等号. 法二: 若设 ab=t ,则 a+b=t-3,∴a,b 可看成方程 x 2-(t- 3)x+t=0 的两个正根. 从而有Δ=?t-3? 2-4t≥0, a+b=t- 3>0 , ab=t >0 , 即 t≤1或t≥9, t >3 , t >0. 解得 t≥9 ,即 ab≥ 9. 答案: [9 ,+ ∞)4 .函数 f(x)= sin x cos x+ sin x+ cos x 的值域为________ . 解析: 设 sin x+ cos x=t,t∈[ -2,2] , 则 sin x cos x= t 2-12 ,构造二次函数 y= t 22 +t- 12 = 12 (t+ 1) 2-1,t∈[-2,2], 当t =- 1 时, y 最小为- 1; 当t= 2 时, y 最大为 12 + 2. 答案: -1, 12 +25 .已知抛物线 E:y 2=4x 与圆 M:(x- 4) 2+y 2=m 有四个交点,则实数 m 的取值范围为________ . 解析: 将抛物线 E:y 2=4x 与圆 M:(x- 4) 2+y 2=m 的方程联立, 消去 y 2 整理得 x 2-4x + 16-m= 0(*) . 抛物线 E:y 2=4x 与圆 M:(x- 4) 2+y 2=m 有四个交点的充要条件是方程(*) 有两个不相等的正根,即 f(x)=x 2-4x+ 16-m在(0 ,+ ∞) x= 2>0 ,所以 f?0?>0 , f?2?<0 , 解得 12< m <16. 答案: (12,16) [ 典例 1] 如果函数 y= ax+bx 2+1 的最大值是 4 ,最小值是- 1 ,求实数 a,b 的值. [解]由y 的最大值是 4 ,知存在实数 x使 ax+bx 2+1 =4, 即方程 4x 2- ax+4-b=0 有实根, 故有Δ 1=a 2- 16(4 -b)≥0; 又由 y 的最大值是 4 ,知对任意实数 x 恒有 ax+bx 2+1 ≤4 ,即 4x 2- ax+4-b≥0 恒成立,故Δ 1=a 2- 16(4 -b)≤0 ,从而有Δ 1=a 2- 16(4 -b)= 0. 同样由 y 的最小值是- 1 ,可得Δ 2=a 2- 4(1 +b)= 0. 由Δ 1=0, Δ 2=0, 解得 a=±4, b= 3. 本题将函数的最值问题,巧妙转化为二次方程的问题,使问题顺利解决. [ 演练 1] (2012 · 江苏高考) 已知函数 f(x)=x 2+ ax+b(a,b∈R) 的值域为[0 ,+ ∞) ,若关于 x