线面积分习题答案.doc

线面积分****题一、填空 1. 设平面曲线 L 为下半圆周 21xy???, 则曲线积分??? dsyx L 22)( (?). 为圆周 cos , sin (0 2 ) x a t y a t t ?? ???,则 2 2 ( ) C x y ds ???=32a? 为圆周 2 2 2 x y x ? ?沿逆时针方向, 计算???? Ldxydyx 33 =。解:设 xyxD2: 22??,由格林公式得???? Ldxydyx 33 ???? D dxdy yx)33( 22???????? cos 20 3223drrd??? 22 4 cos 12 ????d?? 20 4 cos 24 ???d ??2 922 14 324?????。 为上半圆周 22 y ax x ? ?沿逆时针方向, 计算( sin 2 ) ( cos 2) x x L e y y dx e y dy ? ???=。解:记 1L 为0?y 上从ax2?到0?x 的有向线段, 220:xax yD???, 由格林公式得?????)2 cos ()2 sin ( LL xxdy yedxyye ??? Ddy2 2a??, 又?????0)2 cos ()2 sin ( L xxdy yedxyye , 所以( sin 2 ) ( cos 2) x x L e y y dx e y dy ? ???? 2a?。 5. 已知在力 kRjQiPF???的作用下, 一质点沿有向曲弧段 L 的正向从一端移动到另一端所作的功为?W (???? L Rdz Qdy Pdx W ). 6. 向量场 kxyjzxiyzA)2()3()32(??????的散度和旋度分别为 div?A ( divA =0);?A rot ( kjiA rot642???). 为依逆时针方向沿椭圆 2 2 2 2 1 x y a b ? ?一周路径,则( ) ( ) C x y dx x y dy ? ????=2ab ?? ?为球心在原点,半径为 R 的球面的外侧,在 xdydz ydzdx zdxdy ?? ????=34R? ?是由锥面 2 2 z x y ? ?与半球面 2 2 2 z R x y ? ??围成的空间区域, ?是?的整个边界的外侧,则 xdydz ydzdx zdxdy ?? ????=3 (2 2) R?? 10. 设有力场 2 2 ( ) ( ) ( 0) k F x y yi x j y ? ? ???? ??,已知质点在此力场内运动时,场力 F ??所作的功与路径的选择无关,则 k =1? 11. ( 2006 )设?是锥面 2 2 (0 1) x y Z ? ?? Z= 的下侧,则 2 3( 1) 2 xdydz ydzdx z dxdy ??? ?????解: 补一个曲面 2 2 1:1 x y z ?? ????? 1 上侧, 2 , 3( 1) P x Q y R z ? ??? 1 2 3 6 P Q R x y z ? ??? ?????? ??∴ 16 dxdydz ? ??? ??? ????? 6V?(V 为上述圆锥体体积) 6 2 3 ??? ??而 1 2 3( 1) 0 dydz ydzdx z dxdy ?? ? ?????(∵在1?上: 1, 0 z dz ? ?) 12. ( 2004 )设L 为正向圆周 2 22??yx 在第一象限中的部分,则曲线积分?? L ydx xdy 2 的值为?2 3 . 解: 正向圆周 2 22??yx 在第一象限中的部分, 0:, sin 2 , cos 2??????????y x 于是??????d ydx xdy L] sin 2 sin 22 cos 2 cos 2[2 20???????=.2 3 sin 2 20 2???????? d 13. ( 2011 )设L 是柱面方程 2 2 1 x y ? ?与平面 z x y ?