试谈高等数学中的数学美.doc

试谈高等数学中的数学美田长生( 广东技术师范学院计算机科学系, 广东广州 510665) 摘要: 本文讨论了数学美的历史和内容, 并结合高等数学的例子说明高等数学中数学美的各种表现形式, 进一步提出了“要懂得欣赏数学美, 首先必须‘懂’数学, 并具有数学素质”的观点。关键词: 数学美; 熵性; 高等数学Ξ中图分类号:O1-0 文献标识码:A 文章编号:1009-2803(2002)04-0083-05 一、数学美观点的有关历史美是人类创造性实践活动的产物, 是文明的产物。我们通常所说的美, 包括社会美、自然美、艺术美与科学美。数学美是科学美中的一种。数学美古已有之, 古希腊哲学家毕达哥拉斯早在公元前 5 世纪至 6 世纪就试图依据数和数的比例论述了美和美的形式, 第一次提出“美是和谐与比例”的观点。古希腊数学家欧几里德早就提出了数学的演绎美和严谨美, 他在《几何原本》中第一次系统地采用公理化方法, 从公理与公设出发, 用严密的演绎推导出一套几何理论, 可以说是数学著作的一美学典范。我国古代早期的算筹也是一种美丽的原始计算工具, 用算筹表示数 1~ 9 有纵、横两种方式: 纵式: 横式: 表示多位数时, 摆法是纵横相间, 个位为纵, 十位为横,从右到左,如 7631, 筹式为θ⊥≡| 这种方式体现了整齐与和谐之美。数学美随着近代数学的发展, 受到这个时期的许多数学家的重视, 他们对数学美作过许多精彩的阐述。拉普拉斯对分析语言的优美的评述是:“没有另外一种语言是如此优美, 而这些优美之处都是从一长串互相连接并全部出自于同一个基本概念的表达式中产生出来的。”有些数学家认为: 数学理论是诗, 数学家应该具有诗人的气质。分析学之父维尔斯特拉斯说过:“如果一个数学家不具备诗人的某种气质, 他就永远休想成为一个大数学家。”傅里叶的级数理论本身就被称为“一部伟大的数学诗”。进入 20 世纪以来的现代数学时期, 数学美不仅为许多数学家承认存在, 而且还认为数学美感与数学审美能力是数学思维的驱动力, 是数学创造性思维的一个重要组成部分。英国著名数学家哈代说:“数学家的选型与画家或诗人的选型一样, 必须美; 概念也象色彩或语言一样, 必须和谐一致。美是首要的标准, 不美的数学在世界上是找不到永久容身之地的”。美国著名数学家, 控制论创始人维纳更直截了当地说:“数学实质上是艺术的一种。”美国当代数学家 A?波莱尔说:“我已经提到了数学作为艺术的观念, 即概念构成的诗情画意这个观念, 以此作为出发点就能断言: 要能鉴赏数学, 要能欣赏数学, 就需要对一个很特殊的思维世界里的种种概念在精神上的雅与美有一种独特的感受力。”我国当代著名数学家徐利治指出:“数学美的含义十分丰富, 如数学概念的简单性、统一性、结构系统的协调性、对称性, 数学命题与数学模型的概括性、典型性与普适性, 还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容。”由此可见, 古今中外许多数学家都非常重视数学美, 并对数学美的内容、表现形式及重要性作出了许多精辟的论述。二、高等数学中数学美的内容和表现形式数学美的含义十分丰富, 很难用一两句话给数学美下定义, 也很难全面论述数学美包含的内容与表现形式。这里, 本人结合高等数学的 20 多年的教学体会, 仅从两方面探讨。 11 从其反映客观实际的特性看, 它包括两方面: 泛熵