半经典.doc

1. 半经典理论将激光辐射场看作是经典的、由 Maxwell 方程描述的电磁波场;将介质中增益粒子看作用薛定谔方程描述的量子力学系统。场对介质粒子的作用表现为薛定谔方程中微扰哈密顿量,场的扰动会使原子的状态发生变化;介质对场的作用, 归结为 Maxwell 方程中极化强度项,作为源使场发生变化。 2. 薛定谔方程介质中包含大量的增益粒子,每一个粒子都可能处于任何可能的微观状态。粒子的状态可用波函数( , ) t?r 进行描述,满足薛定谔方程其中( , ) V t r 是粒子的势能函数。几率密度( , ) P t r 可表示为并且有令( , ) ( ) ( ) t u g t ?? r r ,代入薛定谔方程并进行分离变量可得其中 E 为分立常数,为与时间无关的波动方程的本征值。因此,波函数可表示为其中任意具有不同 E 的( ) ur 具有正交的特性 3. 密度矩阵按照量子统计学的观点,介质的宏观可观量为相应算符的微观平均值。因此, 将每一个粒子看作一个系统,大量全同系统组成一个系综,宏观量就是算符的系综平均值。密度矩阵公式是在系统的精确波函数不确定的情况下计算算符的平均值的一种方法。波函数( , ) t?r 可按任意一个完备的正交函数集进行展开,有由量子力学可知,宏观量的算符为 A ,其平均值为因此有事实上,算符为 A 可以通过矩阵 kmA 进行表象,即因此有定义密度矩阵* nm m n c c ??且有* nm mn ? ??,则算符平均可表示为, ( ) nm mn m n A A Tr A ? ?? ??对角项 nn?是系统处于( ) nur 态的概率,非对角线与辐射偶极矩相关,表征各状态之间的相位相干。将( , ) t?r 的展开式代入薛定谔方程,并由( ) ur 正交性可得到 nm?的运动方程是??( ) , i H H tiH ?? ????? ?????? 4. 辐射场与原子系统的相互作用原子有很多能级,与电磁场相互作用形成跃迁的主要有两个,即激光上、下能级,其能量分别表示为 1E 和 2E ,为便于讨论在此利用半经典理论分析二能级系统原子与辐射场的相互作用,得出的结果同样具有普适的参考意义。二能级系统原子的密度矩阵为 11 12 21 22 ? ??? ?? ??? ?? ?在 0H 表象中,固有哈密顿量为对角矩阵 10200 H ??? ??? ?? ???其中 1??和 2??为能级 1和2的本征能量假设原子和辐射场相互作用的哈密顿'H 是偶极型的,并且无固有偶极矩,因此有' 12 ' 210 0 - ( ) ' - ( ) 0 0 H E t H E t H ??? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?两能级的总哈密顿量为' 1 12