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双因素试验的方差分析
（―）摘要：
实际问题中往往要同时考虑两个因素对试验指标的影响，此时即使用双因 素方差分析。主要方法为建立合适的假设，并对分析已有数据的各部分方差平方 和、自由度、均方，求得F比后利用检验方法判断原假设是否成立。双参数。
i j ij
()式就是我们所要研究的双因素试验方差分析的数学模型。对于该模型我 们要检验三个假设：
H : a = a 二.••二 a =0，
01 1 2 r
H : a，a，...，a不全为零，
1 2 r
H : p = p 二…二 P =0,
02 1 2 s
H : p , p P不全为零，
1 2 s
H : y = y 二.••二Y =0，
03 1 2 rs
H : y，Y ，...，Y不全为零.
1 2 rs
平方和的分解：
X =丄另ffx，
rst jk
X 二- £ X , i = 1,2,..., r ； j = 1,2,..., s ; ij • t ijk
k =1
色贩=+Xijk, i=1,2,…,r'
j=1 k =1
X .=丄另 Yx , j = 1,2,..., s;
• . • rt ijk
i=1 k=1
再引入总偏差平方和(称为总变差)
s =另乞工（x - X）2
T ijk
i=1 j=1 k =1
£ £ £ ［（ x — X..）+（ x — x）+（X . - X）+（X.. - X - X + X）］2 ijk ij ■ i\ • j. / 1J・ 1.. • j •
i=1 j=1 k=1
£ £ £（x — X ）2+st £（x — x）2+rt £（x — X）2 ijk ij. i •• • j •
i=1 j=1 k =1 i=1 j=1
+1 £ £（x - x - x + x）2
ij. i” • j •
i=1 j=1
即得平方和的分解式
S = S + S + S + S ,
T E A B AxB
其中 s = £ £ £（x — x ）2,
E ijk ij.
i=1 j =1 k =1
s = st £（ x — x）2,
A i ••
i=1
S = rt £ （X — X ）2,
B • j •
j=1
s = t £ £(x - x - x + x )2.
AxB IJ* w •j •
i=1 j=1
S称为误差平方和，S , S分别称为因素A、因素B的效应平方和，S 称为 E A B AxB
A，B交互效应平方和。
可以证明S八SESA,SB,SAxB的自由度依次为rst — 1，rs(t — 1)， r — 1，s — 1，
（r —1）（s — 1），且有
S
E (亦))=5 2,54)
st £ a 2
S
E(上」)=62 +—i ()
r 一 1 r 一 1
rt£ 卩 2
-j -，() s -1
tY 2
ij
E (
(r -1)( s -1)
)=6 2 + i=1 j=1 . ()
(r - 1)(s -1)
当H a = a = = a = 0为真时，可以证明
01: 1 2 r
()
S /(r 一 1)
F = A ~ F(r-1,rs(t-1)). A S /(rs(t -1))
E
取显著性水平为a，得假设H的拒绝域为
01
F = ' Fa (r-1，心 一 1)).
E
()
类似的，在显著性水平a下，假设H的拒绝域为
02
()
FB = Sn^ ' Fa (s - 1，吨 -1)).
E
在显著性水平a下，假设H的拒绝域为
03
()
F =沐B /((r 一1)(s-D)> F ((r - 1)(s -1), rs(t -1)). AxB S /(rs(t -1))
E
上述结果可汇总成下列的方差分析表：
表9-9双因素试验的方差分析表
方差来源
方差和
自由度
均方
F比
因素A
S
A
r 一 1
S S
A = r-1
F S
FA=亍
E
因素B
S
B
s — 1
S S
SB =十
s-1
F S 役=亍
E
父互作用
S
AxB
(r -1)( s -1)
S =丄》T2 T 2
A st i"
i=1
SA x B =
(r-1)( s-1)
F S
A x B =
E
误差
S
E
rs (t 一 1)
S S
Se —E-
=rs (t-1)
总和
S
T
rst 一 1