解析函数的概念与柯西黎曼方程.ppt

第一节解析函数的概念与柯西黎曼方程一、复变函数的导数与微分二、解析函数的概念 2 一、复变函数的导数与微分 :,, ,)( 0 0 的范围不出点点中的一为定义于区域设函数 Dzz DzDzfw???, )(.)( 0 0 的导数在这个极限值称为可导在那末就称 zzfzzf. )()( lim d d)( 000 0 0z zfzzfz wzf zzz??????????记作, )()( lim 000 存在如果极限 z zfzzf z??????3 在定义中应注意:.)0( 00 的方式是任意的即?????zzzz. )()( , 00 0 0 都趋于同一个数比值时内以任意方式趋于在区域即z zfzzf zDzz??????.)( ,)( 可导在区域内就称我们内处处可导在区域如果函数 Dzf Dzf 4 例1 .)( 2 的导数求zzf?z zfzzfzf z????????)()( lim )( 0 解z zzz z??????? 220)( lim )2( lim 0zz z?????.2z?zz2)( 2?? 5 :求导公式与法则:.,0)()1( 为复常数??.,)()2( 1 为正整数其中 n nz z nn??? 6??).()()()()3(zgzfzgzf ????????).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf ?????)0)((.)( )()()()()( )()5( 2????????????zgzg zgzfzgzfzg zf??)( ).()( )]([)6(zgwzgwfzgf?????其中 0)(, )()(,)( 1)()7(???????w wzzfww zf???且函数两个互为反函数的单值是与其中 7 :函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 证, 0 可导的定义根据在 z,0,0??????,||0时使得当????z,)( )()( 0 00????????zfz zfzzf有)( )()()( 0 00zfz zfzzfz ?????????令 8,0)( lim 0????z z?则)()( 00zfzzf???因为,)()( lim 000zfzzf z?????所以.)( 0 连续在即zzf [证毕],)()( 0zzzzf??????? 9 例2 . Im )( 的可导性讨论 zzf?z zfzzfz f???????)()( 解z zzz????? Im ) Im( z zzz????? Im Im Imz z??? Im yix yix???????) Im( ,yix y????? 10 :复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.. )()(, )(,0)( lim ,)()()()( ,)( 0 0 000 0 线性部分的的改变量是函数小的高阶无穷是式中则可导在设函数 wzfwzzf zzzz zzzzfzfzzfw zzfw z????????????????????????????.)( ,)()( 0 0 0zzfdw zzfwzzf????????记作的微分在点称为函数定义