复变函数课件6-1.ppt

Functions plex Variables Zhengzhou normal university School of Math. & Stat. 1 2017-5-16 第六章残(留)数理论及其应用§ 1留数§2用留数定理计算定积分§ 3 辐角原理及其应用 Functions plex Variables Zhengzhou normal university School of Math. & Stat. 2 2017-5-16 Functions plex Variables Zhengzhou normal university School of Math. & Stat. 3 2017-5-16 § 留数 Functions plex Variables Zhengzhou normal university School of Math. & Stat. 4 2017-5-16 目的与要求: 了解留数的定义及留数定理;掌握留数的计算方法;: 留数的定义及留数定理;留数的求法. 难点: 留数定理及留数的求法. Functions plex Variables Zhengzhou normal university School of Math. & Stat. 5 2017-5-16 2017-5-16 5第一节留数 1. 留数的定以及留数定理 2. 留数的求法 3. 函数在无穷远点的留数知识点 Functions plex Variables Zhengzhou normal university School of Math. & Stat. 6 2017-5-16 6 2017-5-16 定义 设f(z)以有限点 a为孤立奇点,即 f(z)在点a的某去心邻域 0<| z-a |<R内解析,则称积分)0,| :|()(2 1Raz dzzfi ??????????).( Rezfs az?为f(z)在点 a的留(残)数(residue), 记为: 1. 留数的定义及留数定理将f(z)在点 a去心邻域内展成洛朗级数,有: ??( ) 0<| - |< nn n f z z a z a ??????? ?? Functions plex Variables Zhengzhou normal university School of Math. & Stat. 7 2017-5-16 7 2017-5-16 ?? 1 R ( ) 2 e???????? ??? n z a n n c z a dz i s f z ???? 1 1 0 1 1 . 2 2 ? ?? ??? ????? ????? ?? ? n nn n n n c dz c z a dz iz cia即??????? Raz dzzfi Ca sf ??|| 1)(2 1)( Re Functions plex Variables Zhengzhou normal university School of Math. & Stat. 8 2017-5-16 8 2017-5-16 定理 (柯西留数定理) f(z)在围线或复围线 C所围区域 D内,除a 1,a 2,…a n外解析,在闭域=D+C 上除 a 1,a 2,…a n外连续,则????? nk az czfsidzzf k12)( Re )(??? nkaz kkk?, ,21 :?????D ?????? zfsi dzzfzf nk az ni c k k?????????? 1 1 Re 2?证作圆周使其全含于 内且两两不相交,取逆时针方向,则由柯西积分定理有 Functions plex Variables Zhengzhou normal university School of Math. & Stat. 9 2017-5-16 9 2017-5-16 注留数定理的重要意义在于把复变函数的闭合曲线积分转化为计算被积函数在孤立奇点处的留数。由于一般被积函数在相应的区域中只有少数几个孤立奇点,求这些孤立奇点的留数相对较容易,因此留数定理是计算复变函数闭合曲线积分的非常有效的方法。 Functions plex Variables Zhengzhou normal unive