2017届南京市高三数学综合试题(含答案).doc

1 201 7 届高三数学综合题一、填空题 1. 如图正△ ABC 的边长为 2, CD 是 AB 边上的高, E,F 分别为边 AC 与 BC 的中点,现将△ ABC 沿 CD 翻折,使平面 ADC ⊥平面 DCB ,则棱锥 E- DFC 的体积为. 【答案】 324 . 【提示】 S △ DFC = 14 S △ ABC = 14 ×( 34 ×2 2)= 34 ,E 到面 DFC 的距离 h 等于 12 AD = 12 . V E - DFC = 13 ×S △ DFC ×h= 324 . 【说明】平面图象的翻折,多面体的体积计算. 2. 已知函数 f(x)= sin( ωx+ π6 )- cos ωx(ω>0). 若函数 f(x) 的图象关于直线 x=2π对称, 且在区间[- π4 , π4 ] 上是单调函数,则ω的取值集合为. 【答案】{ 13 , 56 , 43 }. 【提示】 f(x)= sin( ωx- π6 ) ,因为 f(x) 的图象关于直线 x=2π对称, 所以 f (2π)=±1 ,则 2πω- π6 =kπ+ π2 ,所以ω= k2 + 13 ,k∈Z. 因为函数 f(x) 在区间[- π4 , π4 ]上是单调函数,所以周期 T≥ 2[ π4 ―(―π4 )], 即 2πω≥π,解得 0<ω≤2 ,所以ω= 13 或ω= 56 或ω= 43 或ω= 116 . 当ω= 13 时, f(x)= sin( 13 x- π6 ),x∈[- π4 , π4 ] 时, 13 x- π6 ∈[- π4 ,- π 12 ] ,此时 f(x) 在区间[- π4 , π4 ]上为增函数; 当ω= 56 时, f(x)= sin( 56 x- π6 ),x∈[- π4 , π4 ] 时, 56 x- π6 ∈[- 3π8 , π 24 ] ,此时 f(x) 在区间[- π4 , π4 ]上为增函数; 当ω= 43 时, f(x)= sin( 43 x- π6 ),x∈[- π4 , π4 ] 时, 43 x- π6 ∈[- π2 , π6 ] ,此时 f(x) 在区间[- π4 , π4 ]上为增函数; 当ω= 116 时,f(x)= sin( 116 x- π6 ),x∈[- π4 , π4 ]时, 116 x- π6 ∈[- 5π8 , 7π 24 ], 此时 f(x) 在区间[- π4 , π4 ]上不是单调函数; 综上: ω∈{ 13 , 56 , 43 }. 【说明】考查两角和差公式及三角函数的图象与性质. E ADB C EF F C D AB 2 3 .在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 a 不是最大边,已知 a 2-b 2=2bc sin A, 则 tan A- 9tan B 的最小值为▲________ . 【答案】-2. 【提示】由余弦定理, a 2=b 2+c 2-2bc cos A及a 2-b 2=2bc sin A,得c 2-2bc cos A=2bc sin A, 即c-2b cos A=2b sin A ,再由正弦定理,得 sin C- 2sin B cos A= 2sin B sin A, 即 sin( A+B)- 2sin B cos A= 2sin B sin A ,即 sin A cos B- cos A sin B= 2sin A sin B, 所以 tan A- tan B= 2tan A tan B. 所以 tan B= tan A2 tan A+1 , 所以 tan A- 9tan B= tan A- 9tan A2 tan A+1 = 12 (2tan A+ 1)+ 92 (2tan A+ 1) -5≥2 12 (2tan A+ 1)× 92 (2tan A+ 1) -5 =- 2. (当且仅当 12 (2tan A+ 1)= 92 (2tan A+ 1) ,即 tan A=1 时取“=”). 【说明】本题考查正弦定理、余弦定理、三角变换及基本不等式. 4. 在平面直角坐标系 xOy 中,M 为圆 C:(x-a) 2+(y- 1) 2= 169 上任意一点,N 为直线 l: ax+y+3=0 上任意一点, 若以 M 为圆心, MN 为半径的圆与圆 C 至多有一个公共点,则正数 a 的最小值为_________ . 【答案】 22 【提示】因为圆 M 与圆 C 至多有一个公共点, 所以 MC ≤| MN - 43 | ,即| MN - 43 |≥ 43 ,解得 MN ≥ 83 , 又 MN 的最小值为 a 2+4a 2+1 - 43 ,所以有 a 2+4a 2+1 - 43 ≥ 83 , 解得 a≥22 ,所以正数 a 的最小值为 22. 【