平面图形的几何性质综述.ppt

1 § I-3 平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积§ I-4 惯性矩和惯性积转轴公式·截面的主惯性轴和主惯性矩(选讲) § I-1 截面的静矩和形心§ I-2 极惯性矩·惯性矩·惯性积附录 I平面图形的几何性质 2 32 4DI p??圆轴扭转: Pt max IW??还将遇到一些新的截面几何量,为方便以后的研究,现在从纯几何的角度集中研究这个问题。杆件中的应力和变形,不仅与外力相关,而且与截面的几何形状与尺寸相关。 NFA ?? N F l l EA ?? P Tl GI ?? max tTW ??轴向拉压: A、I P、W t 都是与截面形状与几何尺寸有关的量,称为截面的几何性质(或截面几何量) ,也称为平面图形的几何性质。 3 平面图形对 y 轴的静矩。§I-1 静矩和形心一、静矩?? A z ydA S?? A y zdA S dA yzy zO 1、量纲: m 3、 mm 32、静矩值可为+、-、 0。 3、平面图形关于对称轴的静矩值为 0。 zdA为微面积对 y 轴的静矩; ydA为微面积对 z 轴的静矩。定义: dS z- ydA =0 = ydA 平面图形对 z 轴的静矩。 y O z对称轴 z -yyz dA dA 4 §1静矩和形心一、静矩?? A z ydA S?? A y zdA S二、形心及位置坐标形心:即为图形的几何中心。对于均质薄板, 重心、质心与形心重合。A zdA z Ac??A ydA y Ac??形心坐标: 形心坐标: A yO zy dAz yA Sz yc?A Sy zc?AyS cz? AzS cy?即: 5 1、平面图形对形心轴的静矩为零。则y C=0若z为形心轴,2、平面图形若有对称轴,则形心在对称轴上。形心轴:通过形心的坐标轴。反之,若图形对某轴静矩为零,该轴一定过形心。 0? zS (因为图形关于对称轴的静矩为 0。) y zO C 形心 AyS cz? AzS cy?二、形心及位置坐标 6 三、组合图形(组合截面)的静矩与形心 : 由简单图形(矩形、圆形等)组合而成的图形。 : ???????????? nA AA A y zdA zdA zdA zdA S 21 积分性质组合图形由 A 1、A 2、?? A n组成,其形心分别为( z C1,y C1) (z C2,y C2)??(,)。 Cn n C CzAzAzA??????? 2211 yn yySSS??????? 21 因此: ???? Ci i yi yzASS???? Ci i zi zyASS 7 3、组合图形的形心坐标公式: A Sz yc?A Sy zc?利用形心与静矩的关系: 2、所选坐标系不同,求得的形心坐标就不同,但形心在图形中的位置是固定不变的。 1、一定要建立坐标系。若图形有对称轴,选取对称轴为坐标轴可简化计算。求形心时注意: ???? Ci i yi yzASS???? Ci i zi zyASS????????????? i Ci iC i Ci iCA zAz A yAy8 1010 40 10 3030 例题: 求图示截面的形心。 y zO 建立参考坐标系 O yz如图。解: 123 mm 32 ??????? 10 30 15 10 40 35 10 30 45 10 30 10 40 10 30 ? ????????? ???? i i Ci A y yA ??? mm 27 ??????? 10 30 45 10 40 30 10 30 5 10 30 10 40 10 30 ? ????????? ???? i i Ci Az zA ??? 9 188. 75 (1)将此图形分为大矩形Ⅰ和小矩形Ⅱ。(3)由对称性可知(2)建立坐标轴:以图形的竖直对称轴为 z 轴,过Ⅱ底边的轴取为 y轴。例题: 求图形的形心。 200 300 1010 10 解: I II O zy C ??? i Ci iCA zAz?? 300 180 310 200 150 300 180 155 310 200????????? mm 75 .188 ? 0? Cy10?? A p dA I 2??? A y dA zI 2?? A z dA yI 2§ I-2 惯性矩和惯性半径定义定义平面图形对 z 轴的惯性矩对 y 轴的惯性矩对原点的极惯性矩 1、I P、I y、I z的量纲 m 4;i y、i z的量纲 m ;值恒正。微面积 dA对 z 轴的惯性矩为: y 2dA zyO ρ dAz y 对y、 z 轴的惯性半径 A Ii yy?A Ii zz?