线性代数 相似矩阵与二次型 第1节 特征值汇.ppt

§ § 特征值与特征向量特征值与特征向量一一. . 定义定义第五章第五章相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型§ § 特征值与特征向量特征值与特征向量?? A A??= =???? n n阶方阵阶方阵非零非零向量向量特征值特征值( ( eigenvalue eigenvalue ) ) 特征向量特征向量( ( eigenvector eigenvector ) ) 对应对应??“ Eigen ” is German for “ characteristic of ” or “ peculiar to ”; some authors call these characteristic values and vectors. No authors call them “ peculiar ”. 第五章第五章相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型§ § 特征值与特征向量特征值与特征向量?? A A??= =????( (??E E––A A) )??= = 0 0 | |??E E––A A | = | = 0 0 特征方程特征方程( ( characteristic equation) characteristic equation) | |??E E––A A | = | = ??––a a 11 11––a a 12 12……––a a 1 1n n––a a 21 21??––a a 22 22……––a a 2 2n n……………………––a a n n1 1––a a n n2 2……??––a a nn nn 特征多项式特征多项式( ( characteristic polynomial) characteristic polynomial) ??E E–– A A 特征矩阵特征矩阵特征值特征值特征向量特征向量定义(特征子空间) 0 00 ( ) 0 E A x A V ???? ?对于特征值的特征向量即为齐次线性方程组的非零解向量,这些特征向量连同零向量构成的线性空间称为矩阵关于特征值的特征子空间,记为。)( dim 0 0AERnV?????且二二. . 计算计算第五章第五章相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型§ § 特征值与特征向量特征值与特征向量??定理定理 1 1. . (1) (1) ?? 0 0为为A A的特征值的特征值??| |?? 0 0E E––A A | = | = 0. 0. (2) (2) ??为为A A的对应于的对应于?? 0 0特征向量特征向量??( (?? 0 0E E––A A) )??= = 0. 0. 1. 1. 理论依据理论依据 2. 2. 步骤步骤计算计算| |??E E––A A| |求求| |??E E––A A | = | = 0 0的根的根求求( (??E E––A A) )x x = = 0 0的基础解系的基础解系??例例1 1. . 求求A A = = 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. . 解解: :所以所以 A A的特征值为的特征值为?? 1 1 =2, =2, ?? 2 2 =4. =4. 解之得解之得 A A的对应于的对应于?? 1 1 =2 =2 的特征向量为的特征向量为对于对于?? 1 1 =2, =2, ( (2 2E E––A A) )x x = = 0 0即即 3 3 ??1 1??1 3 1 3 | |??E E––A A | = | = ??––3 1 3 1 1 1 ??––3 3 = ( = ( ??–– 2)( 2)( ??–– 4). 4). ??x x 1 1 + + x x 2 2 = 0 = 0 x x 1 1??x x 2 2 = 0 = 0 x x 1 1x x 2 2 = = k k 1 11 1 (0 (0 ??k k?? R). R). k kk k (0 (0??k k?? R). R). 第五章第五章相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型§ § 特征值与特征向量特征值与特征向量??例例1 1. . 求求A A = = 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. . 解解: :所以所以 A A的特征值为的特征值为?? 1 1 =2, =2, ?? 2 2 =4. =4. 解之得解之得 A A的对应于的对应于?? 2 2 =4 =4 的特征向量为的特征