线性代数第5章 相似矩阵及二次型汇.ppt

暨南大学电气信息学院二. 方阵的特征值与特征向量三. 相似矩阵. 四. 对称矩阵的对角化五. 二次型及其标准型第五章相似矩阵及二次型一. 向量的内积、长度、正交性六. 用配方法化二次型为标准型七. 正定二次型暨南大学电气信息学院 n n a b a b a b T 1 1 2 2 [ , ] ?? ??? ????? 12naaa ?? ?? ?? ??? ?? ?? ?? 12nbbb ?? ?? ?? ??? ?? ?? ?? nR一. 空间中向量的内积 1. 向量的内积、长度、夹角及正交性定义 1:n维实向量称??为向量与的内积。暨南大学电气信息学院 T T (1) ? ???? T T T (2) ( ) ? ??????? ?? k k T T (3) ( ) ( ) ? ????? T (4) 0 ??? 0??向量内积的性质: 等号成立当且仅当(对称性) (线性性) (正定性) 暨南大学电气信息学院 T 2 2 2 1 2 n a a a ? ??? ?????定义 2:实数称为向量的长度(或模,或范数) 1,???若称为单位向量。把向量单位化: 0,?? 0??若则??则的模为 1,为单位向量,称为把?单位化。暨南大学电气信息学院单位向量, 若不是将化为单位向量. ?解: 2 2 2 2 1 1 1 0 0 2 2 2 T ??? ???? ?????? ???? ??? 2 1,2 ?? ????不是单位向量, 2 1 1 2 2 , , 0,0 , , 0,0 2 2 2 2 2 ??? ?? ?? ???? ?? ?? ?? ?? ?为单位向量. 例 1 R 4中的向量是否是 1 1 , , 0, 0 2 2 T?? ?? ?? ?? ?暨南大学电气信息学院 k k ? ?? ? T ? ???? ?? ???? ??向量长度的性质: (1)非负性: 0, 0 0, 0 ? ?? ??? ??? ??(2)齐次性: (3)柯西—施瓦兹不等式: (4)三角不等式: 暨南大学电气信息学院 0, 0 ? ?? ?定义 3: 当向量时, ?? T os 0 ? ?? ??? ?? ??的夹角。称为向量, ??暨南大学电气信息学院定义 4:, ? ?当列向量的内积为零注:(1)零向量与任何向量都正交。(2)定义了内积的向量空间称为欧氏空间。 T0 ? ??时,称向量即, ??? ??正交, 记暨南大学电气信息学院定义 5: 2)若正交向量组中每个向量都是单位定理: 正交向量组是线性无关的。(线性无关向量组未必是正交向量组) T i j i j i j 1, 0, ? ??????? 1) :若非零实向量组 1 2 , , , s ? ? ??两两正交,则称其为正交向量组。向量,则称其为单位正交向量组。单位正交向量组满足暨南大学电气信息学院例 1 已知???? 1 2 1, 1, 1 , 1, 2, 1 T T ? ?? ?? 3,?正交,求一个非零向量使 1 2 3 , , ? ??两两正交。 1 2 3 1 2 3 0 2 0 x x x x x x ? ????? ??? 1 3 2 3 0 T T ????? ?即 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 1 0 3 0 0 1 0 A ? ?????? ??? ?????? ?? ?????同解