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高等数学三推荐3.doc132 第八章微分方程函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究, 因此寻找变量之间的函数关系,在实践中具有重要的意义。然而在许多问题中,往往不能直接找出所需的函数关系,但是可以根据问题所提供的条件, 比较容易建立起这些变量及其导数( 微分) 之间的关系式或有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式, 数学上把这种关系式叫做微分方程。对建立的微分方程进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程。基本内容: 基本概念: 微分方程、可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性微分方程基本运算: 可分离变量微分方程、可降价微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性微分方程的解法基本理论:常数变易法、欧拉指数法具体应用: 用微分方程解决实际的应用问题本章重点: 微分方程的概念、变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性微分方程课标导航 1 .了解微分方程与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解以及积分曲线等概念; 2 .掌握可分离变量微分方程的概念与解法;掌握齐次微分方程与可化为齐次微分方程的概念与解法; 3. 了解一阶线性微分方程的概念, 掌握一阶齐次线性微分方程的解法及通解公式??? dxxP Ce y )( 、一阶非齐次线性微分方程的解法、通解公式])([ )()(C dx exQey dxxP dxxP??????及其通解的结构; 4 .会用变量代换解伯努利方程;掌握可降价微分方程)( )(xfy n?、),(yxfy ????、),(yyfy ????的解法 5. 掌握求二阶常系数齐次微分方程的通解的方法( 欧拉指数法), 了解二阶常系数非齐次微分方程解的结构, 并会用待定系数法求自由项形如 xmexpxf ?)()(?与] sin )( cos )([)(xxpxxpexf mn x?????的二阶常系数非齐次微分方程的特解和通解; 6 .会用叠加原理求自由项)()()( 21xfxfxf??的二阶常系数非齐次微分方程的特解。一、知识梳理与链接(一)基本概念定义 1 凡含有自变量、未知函数、未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。【注意】微分方程中自变量及未知函数可能含有也可能不含有,但必须含有未知函数的导数或微分。定义 2 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶。【注意】微分方程的阶数一定是正整数。定义 3 微分方程的阶数是几阶的,微分方程就称为几阶微分方程。定义 4 能使微分方程成立的函数,称为微分方程的解定义 5 若微分方程的解中含有任意常数, 且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解称为微分方程的通解。定义 6 满足某个特定条件的解,称为微分方程的特解。这个特定条件称为微分方程的初始条件。定义 7 如果一个一阶微分方程能化成 dxxfdyyg)()(?形式,那么原方程就称为可分离变量的微分方程定义 8 如果一个一阶微分方程能化成)(x ydx dy??形式,那么就称原方程为齐次方程定义 9 形如)()(xQyxP dx dy??的方程,称为一阶线性微分方程。当0)(?xQ 时,称 0)(??yxP dx dy 为一阶齐次线性微分方程;当 0)(?xQ 时,称)()(xQyxPdx dy??为一阶非齐次线性微分方程。其中: )(xP 、)(xQ 是已知