一道电源输出功率变化问题的七种解法.doc

一道电源输出功率变化问题的七种解法.doc1 一道电源输出功率变化问题的七种解法题目( 2014 浙江东阳市高三模拟第 15 题) 两电源电动势分别为 E1, E2( E1>E2 ), 内阻分别为 r1, r2. 当这两个电源分别和一个阻值为 R 的电阻连接时,电源输出功率相等. 若将 R 增大到R′,电源输出功率为 P1, P2则 >r2 , P1r2 , P1>P2 分析由题目已知条件可得 I0=E1R+r1=E2R+r2 (1) 即 E1E2=R+r1R+r2>1r1>r2 , 所以答案在 C,D 中选择,当R 增大到 R ′时, I1=E1R ′+r1 , I2=E2R ′+r2. 因此,不能直接判断出 I1与 I2 的大小关系, P1= ( E1R ′+r1 )2×R′, P2= ( E2R ′+r2 )2×R′(2) 则 P1P2= ( E1E2 )2(R′+r2R ′+r1 ) 2=( E1E2 )2( 1+r2-r1R ′+r1 ) 2,令 y=1+r2-r1x+r1 ,当 x=R 时, y=1 ; r2-r1<0 (3) 此函数为增函数(由 y=kx , k>0 减函数, k<0 为增函数推出) 所以,当R′>R时, P1P2>1 ,即 P1>P2 , 答案选择 D, 同理可以推出 2 R′<R时 P1<P2. 点评此方法是根据题目中的问题是比较功率大小,所以回忆起数学中常用的比较方法有比值比较法,此方法利用了数学中函数的函数知识(增函数与减函数) ,根据初始时 P1=P2 时的结论进行演算推理,其中判断函数的增减性是关键性步骤. 解2 差值比较法 P1-P2= ( E1R ′+r1 )2×R′-( E2R ′+r2 )2×R′(4) 由( 1)、(2)、(4 )式可得 P1-P2=E21R ′( RR′+r1R ′+r2R+r1r2 ) 2-E21R ′( RR′+r2R ′+r1R+r1r2 ) 2[(R′+r1 )(R′+r2 )( R+r1 )] (5) r1>r2 ,R′>R 由( r1-r2 )R′>( r1-r2 )R, 即 RR′+r1R ′+r2R+r1r2>RR ′+r2R ′+r1R+r1r2 (6) 由( 5)、(6 )式可得 P1-P2>0P1>P2 , 结论同上. 点评此方法也是比较法中常用的差值比较法,此方法中进行的推理计算过程比较复杂, 然后根据已知条件联系到比较的表达式进行变化是此方法的难点,此方法思路简单清晰计算复杂. 解3 导数的几何意义法函数的一阶导数表示函数在这点切线的斜率,因此如果函数 f(x)的一阶导数大于零,则 f(x )为增函数,如果函数 f(x )的一阶导数小于零,则 f(x )为减函数,如果函数 f(x )的一阶导数等于零,则 f(x) 3 R=x ,由( 1)、(2 )式子得 f(x) =p1P2= ( E1E2 )2( x+r2x+r1 )2(7) 对( 7 )式自变量 x 求一阶导数得 f′(x) =p1P2= ( E1E2 )2( r1-r2 )( x=r1 )2(8) 因为 r1-r2>0 ,所以 f′(x) >0 ,函数为增函数. 当 x=R 时( 7 )式等于 1 ,所以 x=R ′>R 时( 7 )式 p1P2>1P1>P2 ,结论同上. 点