不定积分中分部积分法的新探究.doc

不定积分中分部积分法的新探究.doc1 不定积分中分部积分法的新探究摘要:分部积分法是求不定积分的常用方法,但是学生在应用的过程中遇到很多问题。本文在深入分析不定积分公式的基础上, 模糊其中函数u、v 的定义和选择问题,根据被积函数自身的特点寻求其更简洁、灵活的使用方法。最后结合例题帮助学生更好地掌握分部积分公式。关键词:不定积分;分部积分公式;微分中图分类号: 文献标志码: A 文章编号: 1674-9324 ( 2016 ) 47-0200-02 高等数学是所有高等学校的一门必修课, 而微积分是高等数学中的重要内容。不定积分研究的是与微分运算正好相反的问题: 求一个可导函数, 使它的导函数等于已知的函数。不定积分是微分运算的逆运算, 是微分学和积分学的联系纽带。求不定积分的常规方法包括直接积分法、换元积分法和分部积分法,其中的分部积分法是教学过程中的一个难点。分部积分法是利用微分公式 d( uv) =udv+vdu ,推导得到了分部积分公式 udv=uv-vdu[1]. 因此,当 udv 不容易直接积出,而 vdu 较为容易求出时, 可以采用分部积分公式作为转换。一部分教材[1, 2] 指出分部积分法的关键是要正确地选择 u和v, 选择时应兼顾如下两点:(1) dv 容易求出; (2) vdu 要比 udv 容易积出。但是, 这样的描述比较笼统。还有一些教材[3] 列举了一些常用的选择方法,如当被积函数为幂函数和指数函数相乘时,选择幂函数为 u ;当被积函数为幂函数和对数函数相乘时,选择对数 2 函数为 u ;当被积函数为幂函数和反三角函数相乘时,选择反三角函数为 u ;文[4] 将基本初等函数分为“低、中、高”三类,用“低等服从高等”的思路来解决 u、v 的选择问题;文[5] 、[6] 则总结出一套“口诀”, 这样都需要学生死记硬背,不易于学生的理解和掌握。本文将以例题的形式进一步分析分部积分公式,不再局限于函数 u、 v 的定义和选择,而是将被积函数进行分类,根据被积函数的特点来进行 u、v 的设定,进而让学生能够灵活使用分部积分法进行不定积分的计算。一、类型一:可降幂型此类型的被积函数为幂函数与指数函数或三角函数的乘积。此时,一般将幂函数设为 u ,指数函数或三角函数则为 dv. 这是因为应用分部积分公式之后, 幂函数通过微分后次数降低一次, 使得转换后的不定积分较容易求积出。二、类型二:直接型此类型的被积函数为分对数函数或反三角函数( 即不能直接积分的函数) 与其他函数( 即能直接积分的函数) 的乘积。此时, 将分对数函数或反三角函数设为 u ,其他函数则为 dv. 三、类型三:循环型此类型的被积函数为指数函数与正弦(或余弦)函数的乘积。此时, 需要使用分部积分公式两次才能找到原函数。任意设定其中一部分函数为 u, 其他函数则为 dv. 分部积分两次后会还原到原来的函数, 只是系数有一些相应的变化。因此,等式两边就含有系数不同的同一积分。一元函数的不定积分是