不等式与推理证明重点直击.doc

不等式与推理证明重点直击.doc1 不等式与推理证明重点直击在高考中,不等式与推理证明是密不可分的,前者考查知识点,后者考查方法的灵活应用. 不等式与推理证明内容丰富, 涉及考题变化万千. 在复****这一内容时, 只有抓住重点方可事半功倍, 以下重点内容值得同学们特别关注. 一、一元二次不等式恒成立问题要点解析一元二次不等式恒成立的条件: (1 )不等式 ax2+bx+c>0 对任意实数 x 恒成立 a=b=0 , c>0 ,或 a>0 , Δ<0. (2 )不等式 ax2+bx+c<0 对任意实数 x 恒成立 a=b=0 , c<0 ,或 a<0 , Δ<0. 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系. 在解决具体的数学问题时, 要注意三者之间的相互联系, 并在一定条件下相互转换. 对于一元二次不等式恒成立问题,常根据二次函数图象与 x 轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的取值范围. 题型分析 1. 形如 f(x)≥0(x∈R )确定参数的范围例1 已知不等式 mx2-2x-m+1<0 ,是否存在实数 m 对所有的实数 x,不等式恒成立?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 2 解析:不等式 mx2-2x-m+1<0 恒成立, 即函数 f(x) =mx2-2x-m+1 的图象全部在 x 轴下方. 当 m=0 时, 1-2x12 ,不满足题意; 当m≠0 时,函数 f(x) =mx2-2x-m+1 为二次函数, 需满足开口向下且方程 mx2-2x-m+1=0 无解, 即 m<0 ,Δ=4-4m ( 1-m ) <0, 不等式组的解集为空集,即 m 无解. 综上可知不存在这样的 m. 2. 形如 f(x)≥0(x∈[a, b] )确定参数范围例2 设函数 f(x) =mx2-mx-1 (m≠0), 若对于 x∈[1, 3],f(x) <-m+ 5 恒成立,求 m 的取值范围. 解析:要使 f(x) <-m+5 在[1, 3] 上恒成立, 则 mx2-mx+m-6<0 ,即 m( x-12 ) 2+34m-6<0 在x∈[1, 3] 上恒成立. 有以下两种方法: 法一:令 g(x) =m( x-12 ) 2+34m-6 ,x∈[1, 3]. 当 m>0 时, g(x )在[1, 3] 上是增函数, 所以 g(x) max=g (3) =7m-6<0. 所以 m<67 ,则 0<m<67. 当 m<0 时, g(x )在[1, 3] 上是减函数, 所以 g(x) max=g (1) =m-6<0. 所以 m<6. 所以 m<0. 综上所述, m 的取值范围是( -∞,0)∪(0, 67). 法二:因为 x2-x+1= ( x-12 ) 2+34>0 , 3 又因为 m( x2-x+1 ) -6<0 , 所以 m<6x2-x+1. 因为函数 y=6x2-x+1=6 ( x-12 ) 2+34 在[1, 3] 上的最小值为 67, 所以只需 m<67 即可. 因为 m≠0 ,所以 m 的取值范围是( -∞,0)∪(0, 67). 3. 形如 f(x)≥0 (参数 m∈[a, b] )确定 x 的范围例3 对任意 m∈[-1 , 1], 函数 f(x) =x2+ ( m-4 ) x+4-2m 的值恒大于零,求 x 的取值范围. 解析:由 f(x) =x2+ ( m-4 ) x+4-2m =( x-2 ) m+x2-4x+4 , 令g(m)=( x-2 ) m+x2-4x+4. 由题意知在[-1 , 1] 上, g(m )的值恒大于零, ∴g( -1)=( x-2 )×( -1) +x2-4x+4>0 ,g(1)=( x-2 ) +x2-4x+4>0 , 解得 x3. 故当 x3 时,对任意的 m∈[-1 , 1] ,函数 f(x )的值恒大于零. 类题通法: (1 )解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数. 一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数. (2 )对于二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方; 恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方. 二、线性规划问题 4 要点解析求目标函数的最值要明确几个概念: (1 )约束条件:由变量 x,y 组成的不等式(组); (2) 线性约束条件: 由关于 x,y 的一次不等式( 或方程) 组成的不等式(组); (3 )目标函数:关于 x,y 的函数解析式,如 z=2x+3y 等; (4 )可行解:满足线性约束条件的解( x,y); (5 )最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 线性规划问题是高考的重点, 而线性规划问题具有代数和几何的双重形式, 多与函数、平面向量、数列、三角、概率、