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以凑微分关系简化第一类换元法和分部积分法教学.doc


文档分类:高等教育 | 页数:约3页 举报非法文档有奖
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以凑微分关系简化第一类换元法和分部积分法教学.doc1 以凑微分关系简化第一类换元法和分部积分法教学摘要:一元函数积分学是高等数学中的重要内容,其中的第一类换元法和分部积分法是要求掌握的内容。学生在应用这两种方法进行计算时, 往往觉得要用到两种技巧来实现、缺乏统一的模式一以贯之。这和教材的设计有很大关系: 多数教材都是割裂处理这两个方法。为此提出将这两种方法统一到一个基本的技巧―凑微分。教学实践表明: 熟练应用凑微分的常见关系式,可以明显提高学生用这两种方法计算积分的能力。关键词:凑微分;第一类换元法;分部积分法中图分类号: 文献标志码:A 文章编号: 1674-9324 ( 2014 ) 48-0214-02 一、引言一元函数积分学是高等数学中的重要内容,也是学****二重积分的基础。在积分计算中, 凑微分方法既是重点, 也是难点, 特别是对于被积函数比较复杂的情况凑微分更是困难。对要求学生掌握的内容, 教材常见的安排顺序是: 一元函数的不定积分( 不定积分的概念和性质、第一类换元积分法―也叫凑微分法、第二类换元积分法、分部积分法等) 、一元函数的定积分(定积分的概念和性质、微积分基本公式、第一类换元积分法、第二类换元积分法、分部积分法等) ;也有的教材(如:复旦大学出版社出版的《高等数学》)做如下不同的安排:定积分的概念和性质、微积分基本定理、不定积分的概念和性质、不定积分的第一类换元法及第二类换 2 元法、定积分的计算,等等[1, 2]。(一般来说,上述内容是要求学生掌握的[3] 。) 无论哪种安排顺序, 学生往往感觉计算很繁杂, 往往觉得第一类换元法和分部积分法是割裂的两种方法, 缺乏一个明晰的思路统一贯穿下列问题:不定积分的换元和分部积分法、定积分的换元和分部积分法。为了使学生更好地掌握这些计算, 提出以凑微分的思想为基础, 统一第一类换元法和分部积分法: 学生只要熟悉凑微分的关系式, 就能较熟练地进行基本的积分计算。二、第一类换元积分法“凑微分”关键探析由于积分是微分的逆运算,没有固定的公式和模式可以简单套用,往往需要对积分式子进行适当的变形和换元才能够利用积分公式计算出来, 所以, 初学者在学****的过程中往往要多次尝试, 颇费时间。第一换元积分法( 也叫凑微分法) 是一种重要的基本积分方法, 它的关键步骤是“凑微分”。其公式如下(为简练计,略去公式的条件部分,下文同): 这时后者一般不难计算。应用该公式有两个关键环节: 第一个环节是第一步的凑微分, 第二个环节是第三步的计算: 学生往往在用了分部积分公式后不知如何继续。一般的规律是将 u(x) 的微分计算出来, 这样可以简化

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  • 时间2017-05-26