几种判定函数单调性的方法.doc

几种判定函数单调性的方法.doc1 几种判定函数单调性的方法摘要:函数的单调性是函数的一种重要性质,是函数学****中的重要与难点知识。本文主要介绍了几种判定函数单调性的方法。关键词:函数; 单调性; 判定在高中函数知识学****中, 我们经常需要判定函数的单调性。由于这类题型十分抽象, 综合性很强, 我们在解题过程中经常难以理解题意, 无法掌握数学符号、数学语言间的内在联系。因此, 笔者总结了函数学****中几种判定函数单调性的方法,以供参考。一、利用复合函数判定定理 1: 若函数 f(x) 在区间 I1上、g(x) 在区间 I2 上都有单调性, 且g( I2) ?奂 I1 ,则: (1)f(x)、g(x )单调性相同时, f[g (x)]在 I2 上单调递增。(2)f(x)、g(x )单调性相反时, f[g (x)]在 I2 上单调递减。例1 讨论函数 y= ( x2-5x+4 )的单调性。解:∵函数的定义域为(-∞,1)∪(4,+∞),令 y= , u=x2-5x+4 , ∴ y= 为减函数, u=x2-5x+4 在区间( -∞,1 )上为减函数, y= ( x2-5x+4 )在( -∞,1 )上为增函数。又∵ u=x2-5x+4 在区间( 4,+∞)上为增函数, ∴ y= ( x2-5x+4 )在( 4,+∞)上为减函数。复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础, 而中学数学中 2 的简单函数均是初等函数, 因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础。若能对各种初等函数的图象了如指掌, 则对复合函数的单调性的判定将大有裨益。我们就可借助初等函数的图象确定它的单调性, 判定它的单调区间和函数值域, 再利用上述定理就很容易判定复合函数的单调性。二、利用反函数关系判定我们知道, 一个函数若为严格增( 或减) 函数, 则其反函数也为严格增(或减)函数。那么我们就可利用这一性质判定函数的单调性。定理 2 :若函数 y=f (x )与 y=g (x )互为反函数,且 y=f (x )在区间I 上为单调函数,那么 y=g (x )在区间 I 上也为单调函数。例2 讨论反余弦函数 y=osx 的单调性。解: ∵余弦函数 y=cosx 在区间[0,π] 上的反函数为 y=osx ,且 y=cosx 在区间[0,π] 上为单调减函数。∴ y=osx 在区间[-1 , 1] 上为单调减函数。三、利用奇、偶函数的性质判定定理 3 :奇、偶函数有以下两点性质: (1 )在以原点对称的区间上奇函数的单调性相同。(2 )在以原点对称的区间上偶函数的单调性相反。奇函数、偶函数的单调性的对称规律, 在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大。对于偶函数, 如果两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上, 即自变量的正负不统一, 应利用图象的对称性将自变量划归到同一个单调区间,然后根据单调性判断。 3 例3 若在区间[-5 , -3] 上奇函数 f(x )