函数基本活动经验初探.doc

函数基本活动经验初探.doc1 函数基本活动经验初探【摘要】 2011 年版的《义务教育数学课程标准》在其第二部分课程目标中明确提出“四基”,成为 2011 年版的《义务教育数学课程标准》的一大亮点.《普通高中数学课程标准( 修订)》拟将提出数学基本活动经验, 它将与基础知识、基本技能、基本数学思想一起构成高中数学的“四基”. 本文将探究函数中具有的函数基本活动经验. 【关键词】函数;活动;经验一、基本活动经验之一:研究函数问题,定义域优先 y=f (x) 是函数, y-f (x) =0 是方程, 分析函数或者方程首先要关注讨论的对象――自变量. 定义域优先指的是研究函数问题时,首先应明确函数的自变量是什么,其范围是多少,是连续的还是不连续的等. 例1 函数 f(x )的定义域为 R ,若 f( x+1 )、f( x-1 )都是奇函数, 则() (x )是偶函数 (x )是奇函数 (x) =f( x+2 ) ( x+3 )是奇函数解析 f( x+1 )、f( x-1 )都是奇函数得函数 f(x )关于点( -1,0)、(1,0 )对称,类比三角函数得 f(x) =f( x+4 ) ,即得函数关于点( -3, 0 )对称,选 C. 上述的解法涉及的知识点是图像平移、类比三角函数性质, 从函数的角度如何求解呢?从函数的自变量与变量角度解读,奇函数的代数特征 2 为:自变量互为相反数,其函数值互为相反数;其几何特征为:点( x,f (x) )与点( -x, -f(x) )在函数 f(x )图像上,并关于原点对称. 本题另解为: f( x+3 ) =f[ ( x+2 ) +1] =-f[- ( x+2 ) +1]=-f ( -x-1 ) =f( x-1 ) =f[ ( x-2 ) +1]=-f[- ( x-2 ) +1] =-f ( -x+3 ) 二、基本活动经验之二:研究函数问题,其图像优先 y=f (x )是函数, y-f (x) =0 是方程,, 生动地表现出函数图像的动态, 可以帮助我们理解抽象函数关系的意义, 同时函数图像又是运用数形结合思想方法的基础, 已知 f(x) =13x3+ ( 2+m ) x2-x 在( 1,3 )上不是单调函数,求实数 m ∵f′(x) =x2+ ( 4+2m ) x-1 且函数 y=f (x)在(1,3) 上不是单调函数, ∴函数 y=f (x )在( 1,3 )上存在极值点. 生1 :求出 f′(x) =0 的根,转化为求不等式; 生2 :由零点存在性定理得: f′(1)f′(3) <0; 生3: 分两类:①函数 y=f (x)在(1,3) 上存在两个极值点,②函数 y=f (x )在( 1,3 )上存在一个极值点; 生4:∵f′(x) =x2+ ( 4+2m ) x-1 的图像开口向上且过定点(0, -1). 3 ∴函数 y=f (x )在( 1,3 )上只存在一个极值点. ∴f′(1)f′(3) <0. 从解法的运算量来说,生4 的解法最优, 其根本原因是生 4 结合了图像特征判定“导函数在( 0,+∞)上只有一个零点”,而生 3 没有分析导函数的图像, 虽然对零点存在性