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函数对称性的探究.doc1 函数对称性的探究【摘要】函数的对称性是函数的一个基本性质,其中既有函数自身的对称性又有不同函数之间的对称性, 性质结论复杂且繁多, 既是高中数学学****的一个难点,也是高考考查的重点,广泛存在于数学问题之中。笔者通过对函数自身的对称性和不同函数之间的对称性两个方面的探讨和归纳,希望能对读者有所帮助。【关键词】函数对称性周期性内部对称外部对称【中图分类号】 G632 【文献标识码】A【文章编号】 1674-4810 ( 2015 ) 30-0096-02 函数是高中数学的核心内容, 也是整个高中数学的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点, 函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中, 而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决。笔者拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性两个方面来探讨函数与对称有关的性质。一函数自身对称性的探究定理 1 ,函数 y=f (x )的图像关于点 A(a,b )对称的充要条件是 f (x) +f( 2a-x ) =2b 。证明: (必要性)在 y=f (x )图像上任取一点 P(x,y) ,则点 P(x, y )关于点 A(a,b )的对称点 P’( 2a-x , 2b-y ) ,点 P’也在 y=f (x)图像上, ∴ 2b-y= 2 f( 2a-x )即 y+f ( 2a-x ) =2b ,故 f(x) +f( 2a-x ) =2b 。(充分性)在 y=f (x )图像上任取一点 P( x0, y0) ,则 y0=f ( x0) ∵f(x) +f( 2a-x ) =2b ∴f( x0) +f( 2a-x0 ) =2b ,即 2b-y0=f ( 2a-x0 )。故点 P’( 2a-x0 , 2b-y0 ) 也在 y=f (x) 图像上, 而点 P 与点 P’关于点A(a,b )对称。特别的:函数 y=f (x )的图像关于原点 O 对称的充要条件是 f(x) +f( -x) =0。定理 2 ,函数 y=f (x )的图像关于直线 x=a 对称的充要条件是: f( a+x ) =f( a-x )即 f(x) =f( 2a-x ) (证明留给读者) 若写成: f( a+x ) =f( b-x ) ,函数 y=f (x )关于直线对称。特别的:函数 y=f (x )的图像关于 y 轴对称的充要条件是 f(x) =f ( -x)。定理 3,(1 )若函数 y=f (x )图像同时关于点 A(a,c )和点 B(b, c )成中心对称( a≠b) ,则 y=f (x )是周期函数,且 2|a-b| 是其一个周期。(2 )若函数 y=f (x )图像同时关于直线 x=a 和直线 x=b 成轴对称( a ≠b),则 y=f (x) 是周期函数,且 2|a-b| 是其一个周期。(3) 若函数 y=f (x) 图像既关于点 A(a,c) 成中心对称又关于直线 x=b 成轴对称(a≠b), 则 y=f (x )是周期函数,且 4|a-b| 是其一个周期。以下给出( 1 )的证明: 证明:函数 y=f (x )的图像同时关于点 A(a,c )和点 B(b,c )成中心对称,则 f( 2a+x ) +f( -x) =2c ,f( 2b-x ) +f(x) =2c 。 3 所以 f[2 ( a-b ) +x]=f