第3章插值与拟合.ppt

第3章插值与拟合方法随着社会的进步和收入水平的提高,汽车进入家庭已不再是奢望。但伴随而来的就是交通安全。“珍爱生命,安全出行”,并不仅仅是个口号,它关系到每个驾驶员的安全,也关系到每个驾驶员所在家庭的幸福和安定。驾驶时,车速过快、与前车距离过近,以致来不及刹车或制动距离不足, 是造成绝大部分交通事故的主要原因。统计上,刹车距离由反应距离和制动距离两部分组成,即刹车距离为反应距离与制动距离之和。前者指从司机发现问题决定刹车到制动器开始起作用汽车行驶的距离,后者指从制动器开始起作用到汽车完全停止行驶的距离. 为了了解刹车距离与车速的关系,美国交通部门进行了一系列刹车实验,实验结果见表 3-1 所示。问若车速分别为 37 、 72 英里/小时(分别约 60 、 115 Km/h) , 问刹车距离是多少?保持多大车距才是安全的? 显然,实际观测没有针对这两个点的观测结果, 这就需要我们根据已有的观测数据进行估算。进一步地,若要估算车速在区间[20,80] (英里/小时)内任意一点的反应距离、制动距离和刹车距离,应如何估算。处理此类问题,插值方法与数据拟合方法是两类常见的建模方法 插值法 问题的提出插值问题的一般描述:若已知函数(通常为未知)在给定的个互不相同的观测点上的函数值(通常为实验或观测值) , 希望寻求某一近似函数, 使满足( ) 则我们称此类问题为插值问题,近似函数称为插值函数, 观测点称为插值节点, 式( )称为插值条件, 若令,则[ a,b ]称为插值区间。若已找到,则在任一点()上的函数值就可以由其插值函数近似估计。)(xfy? 1?n nxxx,,, 10? nyyy,,, 10?)(x?,)()( iiiyxfx???ni,,2,1,0??)(x?}{ max },{ min 0 0 ini inixbxa ??????)(x?x],[bax?)(xf )(x?那么应该如何构造插值函数呢?从中学的解析几何知识,我们知道:给定平面上两个互不相同的点可以确定一条直线, 给定三个互不相同的点可以确定一条抛物线多项式,依此类推。这启示我们用多项式作为插值函数是一个很好的选择。事实上,多项式插值由于其易求导、求积分和足够的光滑性, 在很多领域都有广泛的应用。设是个互不相同的观测点,要求一个次数不超过的代数多项式( ) 使其在插值节点上,满足( ) 则此类插值问题称为代数插值问题,称为次插值多项式。),,2,1,0 )(,(niyx ii??1?nn nn nxaxaaxp????? 10)(.,2,1,0,)(niyxp iin???)(xp nn 插值多项式的求法 1 一般方法线性插值:给定两个互不相同的观测点和, 求一线性多项式使其通过这两个观测点,即。显然是平面上的一条直线,其表达式可采用两点式或点斜式直接给出,即( ) 当然,也可以利用代数方程组的方法求出待定参数. 由插值条件, 通过这两个观测点,故有解此线性方程组,可采用消元法,也可以采用矩阵方法直接求解. 详见 . ),( 00yx),( 11yxxaaxp 101)(?? 111001)(,)(yxpyxp??)( 1xp)()( 001 0101xxxx yyyxp????? 10,aa )( 1xp??????? 1110 0010yxaa yxaa 二次插值: 给定三个互不相同的观测点, , 和, 求一个次数不超过 2次的多项式使其通过这三个观测点。求解方法与线性插值完全类似,此处不再累述。二次插值又称抛物型插值。次插值多项式: 当大于或等于 2时,采用上述方法无法直接给出多项式的表达式,需要求解线性方程组。对次插值多项式的确定,由于多项式中含有+1 个待定系数,通常需要给定+1 个互不相同的观测点,由此可建立+1 元线性方程组,如下式: ( ) 直接解此线性方程组,通常比较麻烦,可通过数学软件(如 Matlab )求解。),( 00yx ),( 11yx)( 22yx 22102)(xaxaaxp??? nnnn nn 2 0 1 0 2 0 0 0 2 0 1 1 2 1 1 1 2 0 1 2 nnnnn n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?? ?????? ????????? ???????????????? Lagrange 多项式插值方法线性插值: 任给两个互不相同的观测点,求一个线性次多项式,使其满足插值条件。线性插值多项式可直接给出,如() 式,