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2016 年高考数学微专题十八:圆锥曲线性质 2016 年高考数学微专题十八圆锥曲线性质:方程、焦点三角形、离心率、一、高考考纲要求圆锥曲线与方程①了解圆锥曲线的实际背景, 了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质。③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程, 知道它的简单几何性质。④理解数形结合的思想。⑤了解圆锥曲线的简单应用。二、知识点解析一、椭圆 1 .椭圆的定义(1) 满足以下条件的点的轨迹是椭圆: ①在平面内; ②与两个定点 F1、 F2 的距离之和等于常数; ③常数大于|F1F2|. (2) 焦点:两定点. (3) 焦距:两焦点间的距离. 2 .椭圆的标准方程和几何性质二、双曲线 1 .双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1) 在平面内; (2) 动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值; (3) 这一定值一定要小于两定点的距离. 2 .双曲线的标准方程和几何性质三、抛物线 1 .抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1) 在平面内; (2) 动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等; (3) 定点不在定直线上. 2 .抛物线的标准方程和几何性质三、例题解析考点一:椭圆的定义及标准方程 x2y2 例一.(2016 · 三明模拟)设 F1, F2 是椭圆 49+ 24=1 的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1| ∶|PF2| =4∶3 ,则△ PF1F2 的面积为() A. 30 C. 24 解析:选 C∵|PF1| + |PF2| = 14, 又|PF1| ∶|PF2| =4∶3, ∴|PF1| =8, |PF2| = 6. ∵|F1F2| = 10,∴ PF1 ⊥ PF2. 11∴S△ PF1F2 = 2|PF1| · |PF2| =2×8×6= 24. 2. (2016 · 烟台质检) 一个椭圆中心在原点,焦点 F1, F2在x 轴上, P(2, 3) 是椭圆上一点,且|PF1| , |F1F2| , |PF2| 成等差数列, 则椭圆方程为() x2y2 x2y2 x2y2B .16 +6=1 x2y2 +4=1B. 25D. 40 x2y2 解析:选A 设椭圆的标准方程为 a+b= 1(a >b> 0). 由点 P(2, 3)在椭 43 圆上知 ab1. 又|PF1| , |F1F2| , |PF2| 成等差数列,则|PF1| + |PF2| = 2|F1F2| ,即 c12a =2· 2c,a=2 ,又 c2= a2- b2 ,联立得 a2=8, b2= 6. 3 .已知两圆 C1: (x- 4)2 + y2= 169 , C2: (x+ 4)2 + y2=9 ,动圆在圆 C1 内部且和圆C1 相内切,和圆C2 相外切, 则动圆圆心M 的轨迹方程为() x2y2 - 48=1 x2y2 + 64=1 x2y2 + 48=1 解析:选 D 设圆 M 的半径为 r ,则|MC1| + |MC2| = (13 - r)+ (3+ r) = 16, ∴M 的轨迹是以 C1、 C2 为焦点的椭圆,且 2a= 16,2c =8 ,故所求的轨迹方 x2y2 程为 64+ 48= 1. 考点二:椭圆的几何性质 x2y2 例二(2016 · 福建三模) 椭圆Γ:a+ b1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ,焦距为 2c ,若直线 y= 3(x + c) 与椭圆Γ的一个交点 M 满足∠ MF1F2 =2∠ MF2F1 ,则该椭圆的离心率等于________ . 解析直线 y= 3(x + c) 过点 F1 ,且倾斜角为 60° ,所以∠ MF1F2 = 60 ° ,从而∠ MF2F1 = 30° ,所以 MF1 ⊥ MF2. 在 Rt△ MF1F2 中, |MF1| =c, |MF2| = 3c ,所 2c2c 以该椭圆的离心率 e= 2a == 3- + 3c 答案 3-1 考点三:直线与椭圆的位置关系 x2y2 例三(2015 · 天津高考) 设椭圆 a+b= 1(a >b> 0) 的左焦点为 F ,离心率为 33F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 33. (1) 求椭圆的方程; (2) 设A,B 分别为椭圆的左、右顶点,过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于????????????????DB + AD ·C,D AC · CB =8 ,求 k 的值. c3 解析(1) 设 F(- c,0) ,由 a3a3c. 过点 F 且与 x 轴垂直的直线的?- c?2y26b26b43 方程为 x