2016年高考数学理科精选试题—圆锥曲线综合题(含答案与解析).doc

2016 年高考数学理科精选试题—圆锥曲线综合题( 含答案与解析) 2016 年全国高考数学试题分类汇编:圆锥曲线(答案及解析) x2y21 、( 2016 年北京高考) 已知椭圆 C2?2?1 ( a?b?0 ) , A(a,0) , B(0,b) , O(0,0) , ab?OAB 的面积为 1. (1 )求椭圆 C 的方程; (2 )设 P 的椭圆 C 上一点,直线 PA与y 轴交于点 M ,直线 PB与x 轴交于点 N. 求证: AN?BM 为定值. 【解析】⑴由已知, c1?ab?1 ,又 a2?b2?c2 , a2 解得 a?2,b?1,c? x2 ∴椭圆的方程为?y2? ⑵方法一: 2x02 设椭圆上一点 P?x0,y0? ,则?y0?1. 4 y0?2y0 直线 PA: y?. ?x?2?, 令 x?0 ,得 yM?x0?2x0?2 2y0 x0?2 y?1?x0 直线 PB : y?0. x?1, 令 y?0 ,得 xN?x0y0?1 ∴ BM?? ∴ AN?2?x0 y0?1 x02y0??y0?1x0?2 AN?BM?2??x0?2y0?2x0?2y0?2?x0?2y0?1 22x0?4y0?4x0y0?4x0?8y0?4?x0y0?x0?2y0?2 2x02?y0?1 代入上式得 AN?BM=4 将4 故 AN?BM 为定值. 方法二: 设椭圆上一点 P?2cos?,sin?? , 1 sin?sin?. ?x?2?, 令 x?0 ,得 yM?2cos??21?cos? sin??cos??1 ∴ BM? 1?cos? sin??12cos? 直线 PB:y?. x?1, 令 y?0 ,得 xN?2cos?1?sin? 2sin??2cos??2 ∴ AN? 1?sin? 2sin ??2cos??2sin??cos??1AN?BM??1?sin?1?cos? 直线 PA:y? ?2 ?42?2sin??2cos??2sin?cos?1?sin??cos??sin?cos? 故 AN?BM 为定值. x2y22 、( 2016 年山东高考)平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C: 2?2?1?a >b> 0?, 抛物线 abE : x2?2y 的焦点 F是C 的一个顶点.(I )求椭圆 C 的方程; ( II )设 P是E 上的动点,且位于第一象限, E 在点 P 处的切线 l与C 交与不同的两点 A,B ,线段 AB 的中点为 D ,直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. (i )求证:点 M 在定直线上;( ii )直线 l与y 轴交于点 G ,记△ PFG 的面积为 S1,△ PDM 的面积为 S2 ,求时点 P 的坐标. S1 的最大值及取得最大值 S2 【解析】(Ⅰ) 由离心率是 22 ,有 a=4b ,2 22 又抛物线 x=2y 的焦点坐标为 F(0,) ,所以 b=1 21 ,于是 a=1 ,2 所以椭圆 C 的方程为 x+4y=1 . 22 m2 ),( m>0) ,(Ⅱ)(i )设 P 点坐标为 P( m,2 =x ,所以 E 在点 P 处的切线 l 的斜率为 m,由 x=2y 得y′ m2 因此切线 l 的方程为 y=mx -, 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2) , D(x0,y0) ,2 m2 22将 y=mx -代入 x+4y=1 ,得 2 ( 1+4m2)x2 - 4m3x+m2 - 1=0 . x1+x24m32m3 = 于是 x1+x2= , x0= , 21+4m21+4m2 m2 - m2 -=又 y0=mx0 , 22 (1+4m2) 于是直线 OD 的方程为 y=- 1x. 4m 11x 与 x=m ,得 M 的坐标为 M(m, -). 联立方程 y=- 4m4 所以点 M 在定直线 y=-1 上. 4 m2m2 ( ii )在切线 l 的方程为 y=mx -中,令 x=0 ,得 y= -, 22 1m2m2) ,又), F(0,) , 即点 G 的坐标为 G(0, - 222 1m(m2+1) 所以 S1=mGF= ; 24 3 2m3 - m2 再由 D(,) ,得 4m2+12(4m2+1) 12m2+12m3+mm(2m2+1)2 S2=2=244m+18(4m2+1) S12(4m2+1)(m2+1) 于是有. =S2(2m2+1)2 12(t - )(t+1)S1112==2+2 令 t=2m+1 ,得 S2ttt2 S1119 当= 时,即 t=2 时,取得最大值. t24S2 此时 m=21221 , m= ,所以 P 点的坐标为,). 2224 所以 S1921 的最大值为,取得最大值时点 P 的坐标为,