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1 蒋王中学高三数学学情检测 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. 已知 i 是虚数单位,则▲. 2. 设集合,则▲. 3. 某市高三数学抽样考试中,对分及其以上的成绩情况进行统计, 其频率分布直方图如右下图所示,若分数段的人数为人,则分数段的人数为▲.4. 已知某算法的流程图如右图所示,则输出的最后一个数组为▲. 5. 钱大姐常说“便宜没好货”, 她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的▲.(填“充分条件”,“必要条件”,“充分必要条件”,“既非充分也非必要条件”) 6. 圆柱形容器的内壁底半径是 cm, 有一个实心铁球浸没于容器的水中, 若取出这个铁球, 测得容器的水面下降了 cm ,则这个铁球的表面积为▲. ?为锐角,若 4 cos 6 5 ??? ?? ?? ?? ?,则)12 2 sin( ??a 的值为▲. 8. 设 1 2 , F F 是双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b ? ???的两个焦点,P是C 上一点,若 21 6 , PF PF a ? ?且 1 2 PFF ?的最小内角为 30 ?,则C 的离心率为▲. 9. 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是▲(结果用最简分数表示)。 10. 若实数、满足,则的最大值是▲ 2 11. 若方程 lg( ) 2lg( 1) kx x ? ?仅有一个实根,那么的取值范围是▲. , 恒成立,则实数的取值为▲. 13. 如图, 两射线互相垂直, 在射线上取一点使的长为定值, ,E 满足与的面积之比为,则的取值范围为▲. 14. 已知直线 y x ?与函数2 ( ) g x x ?( x>0 )的图象交于点 Q,P、M 分别是直线 y=x 与函数2 ( ) g x x ?( x>0 ) 的图象上异于点 Q 的两点, 若对于任意点 M, PM ≥ PQ 恒成立,则点 P 横坐标的取值范围是▲. 二、解答题: 本大题共 6 小题,共 90分. 请在答题卡指定区域....... 内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知函数. (1) 求函数的最小值和最小正周期; (2)设的内角、、的对边分别为,, ,且, ,若,求, 的值. 16. (本小题满分 14 分) 在直三棱柱中, AC=4,CB=2,AA 1 =2,,E、F 分别是的中点. (1 )证明:平面平面; (2 )证明: 平面; (3 )设 P是 BE 的中点, C EF P 3 17 (本小题满分 15 分) 某工厂生产一种仪器的元件, 由于受生产能力和技术水平的限制, 会产生一些次品, 根据经验知道,其次品率与日产量(万件)之间大体满足关系: (其中为小于 6 的正常数) (注:次品率= 次品数/ 生产量,如表示每生产 10 件产品,有 1 件为次品,其余为合格品) 已知每生产 1 万件合格的仪器可以盈利 2 万元, 但每生产 1 万件次品将亏损 1 万元, 故厂方希望定出合适的日产量.(1 )试将生产这种仪器的元件每天的盈利额(万元)表示为日产量(万件)的函数; (2 )当日产量为多少时,可获得最大利润? 18. (本小题满分 15 分) 已知椭圆的离心率为, 一条准线. (1) 求椭圆的方程; (2 )设 O 为坐标原点, 是上的点, 为椭圆的右焦点,过点 F作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于两点. ①若,求圆的方程; ②若是l 上的动点,求证点在定圆上,并求该定圆的方程. 4 19. (本小题满分 16 分) 已知数列是各项均不为的等差数列,公差为, 为其前项和,且满足, .数列满足, 为数列的前 n 项和. (1 )求数列的通项公式和数列的前 n 项和; (2 )若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围; (3 )是否存在正整数,使得成等比数列?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由. 20.( 本小题满分 16分) 已知函数. (I)若,求+在[2, 3] 上的最小值; ( II)若时,,求的取值范围; ( III ) 求函数在[1, 6] 上的最小值. 5 蒋王中学高三数学学情检测答题纸 一、填空题: 1、2、3、4、 5、6、7、8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、二