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第一章导数及其应用§1 . 变化率问题教学目标: 1 .理解平均变化率的概念; 2. 了解平均变化率的几何意义; 3 .会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点: 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率; 教学难点: 平均变化率的概念. 教学过程: 、过程等变化着的现象, 在数学中引入了函数, 随着对函数的研究, 产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关, 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. (一)问题提出问题 1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程, 可以发现, 随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加越来越慢. 从数学角度, 如何描述这种现象呢? 气球的体积 V ( 单位:L ) 与半径 r ( 单位:dm ) 之间的函数关系是 33 4)(rrV??如果将半径 r 表示为体积 V 的函数, 那么 34 3)(? VVr?在吹气球问题中,当空气容量 V从0 增加到 1L 时,气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量 V从 1L 增加到 2L 时,气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从 V 1 增加到 V 2时, 气球的平均膨胀率为_____________ 问题 2 高台跳水在高台跳水运动中, , 运动员相对于水面的高度 h( 单位: m) 与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系 h(t )=- t 2 + t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度 v 粗略地描述其运动状态? ??t 这段时间里, v =_________________ 在21??t 这段时间里, v =_________________ 问题 3平均变化率 1 .上述问题中的变化率可用式子 12 12)()(xx xfxf??表示, 称为函数 f(x)从x 1到x 2 的平均变化率 2. 若设 12xxx???,)()( 12xfxff???( 这里 x?看作是对于 x 1 的一个“增量”可用 x 1+x?代替 x 2, 同样)()( 12xfxfyf?????) ht o 3. 平均变化率为??????x fx yx xfxxfxx xfxf???????)()()()( 1112 12 思考:观察函数 f(x) 的图象: 平均变化率???x f 12 12)()(xx xfxf??表示什么? . 已知函数 f(x )=xx?? 2 的图象上的一点)2,1(??A 及临近一点)2,1(yxB??????,则???x y . ?在0xx?附近的平均变化率。 3 2??ts ,则在时间)3,3(t??中相应的平均速度为. s(t )=3 t 2+t +4的规律作直线运动,求在 4s附近的平均变化率. y=f(x )=x 3上两点 P(1,1)和Q (1+ Δx,1+ Δy) 作曲线的割线,求出当Δx =0 .1时割线的斜率. 1 .平均变化率的概念 2 .: 1、函数?? 2xxf?在区间?? 3,1?上的平均变化率是( ) A、4B、2C、4 1 D、4 3 2 、经过函数 22xy??图象上两点 A、B 的直线的斜率( 1,?? BAxx )为_______; 函数 22xy?在区间[1, ] 上的平均变化率为_________________ 3 、如果质点 M 按规律 23ts??运动,则在时间[2, ] 中相应的平均速度等于______ 25 3 t??导数与导函数的概念教学目标: 1 、知识与技能:理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法; 理解导数的几何意义; 理解导函数的概念和意义; 2 、过程与方法:先理解概念背景,培养解决问题的能力;再掌握定义和几何意义,培养转化问题的能力;最后求切线方程,培养转化问题的能力 3 、情感态度及价值观;让学生感受事物之间的联系,体会数学的美。教学重点: 1 、导数的求解方法和过程; 2 、导数符号的灵活运用教学难点: 1 、导数概念的理解; 2 、导函数的理解、认识和运用教学过程: 一、情境引入在前面我们解决的问题: 1 、求函数 2)(xxf?在点( 2,4 )处的切线斜率。 xx xfxfx y??????????4 )()2( ,故斜率为 4 2 、直线运动的汽车速度 V 与时间 t 的关系是 1 2??tV ,求 ott