考研数学三真题和详解.doc

1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题( 本题满分 15分, 每小题 3分. 把答案填在题中横线上.) (1) 极限 lim( 3 ) n n n n n ??? ???_________. (2) 设函数( ) f x 有连续的导函数, (0) 0, (0) f f b ?? ?, 若函数( ) sin , 0, ( ) , 0 f x a x x F x x A x ?????????在0x?处连续, 则常数 A =___________. (3) 曲线 2 y x ?与直线 2 y x ? ?所围成的平面图形的面积为_________. (4) 若线性方程组 1 2 1 2 3 2 3 4 3 4 1 4 ,,, x x a x x a x x a x x a ? ????? ???? ????? ??有解, 则常数 1 2 3 4 , , , a a a a 应满足条件________. (5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击, 若至少命中一次的概率为 8081 , 则该射手的命中率为________. 二、选择题( 本题满分15分, 每小题3分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数 sin ( ) tan x f x x x e ? ? ?,则( ) f x 是() (A) 偶函数(B) 无界函数(C) 周期函数(D) 单调函数(2) 设函数( ) f x 对任意 x 均满足等式(1 ) ( ) f x af x ? ?, 且有(0) , f b ??其中, a b 为非零常数,则() (A) ( ) f x 在1x?处不可导(B) ( ) f x 在1x?处可导,且(1) f a ??(C) ( ) f x 在1x?处可导,且(1) f b ??(D) ( ) f x 在1x?处可导,且(1) f ab ??(3) 向量组 1 2 , , , s ? ? ??线性无关的充分条件是() (A) 1 2 , , , s ? ? ??均不为零向量(B) 1 2 , , , s ? ? ??中任意两个向量的分量不成比例(C) 1 2 , , , s ? ? ??中任意一个向量均不能由其余 1s?个向量线性表示(D) 1 2 , , , s ? ? ??中有一部分向量线性无关(4) 设, A B 为两随机事件,且 B A ?, 则下列式子正确的是() (A)???? P A B P A ? ?(B)???? P AB P A ?(C)???? P B A P B ?(D)????( ) P B A P B P A ? ??(5) 设随机变量 X 和Y 相互独立, 其概率分布为 m -11?? P X m ?12 12 则下列式子正确的是() (A) X Y ?(B)?? 0 P X Y ? ?(C)?? 12 P X Y ? ?(D)?? 1 P X Y ? ?三、计算题( 本题满分 20分, 每小题 5分.) (1) 求函数 2 ln ( ) 2 1 xet I x dt t t ?? ??在区间 2 [ , ] e e 上的最大值. (2) 计算二重积分 2yD xe dxdy ???, 其中 D 是曲线 24 y x ?和29 y x ?在第一象限所围成的区域. (3) 求级数 21 ( 3) nnxn ????的收敛域. (4) 求微分方程 sin cos (ln ) x y y x x e ??? ?的通解. 四、( 本题满分 9分) 某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告, 根据统计资料, 销售收入 R ( 万元) 与电台广告费用 1x ( 万元) 及报纸广告费用 2x ( 万元) 之间的关系有如下经验公式: 2 2 1 2 1 2 1 2 15 14 32 8 2 10 . R x x x x x x ? ?????(1) 在广告费用不限的情况下, 求最优广告策略; (2) 若提供的广告费用为 万元, 求相应的最优广告策略. 五、( 本题