管网基本定理及其数学模型.doc

1 管网基本定理及其数学模型摘要:本文讨论水力模型的基本形式和管网中管件的定理, 以及在水力分析中的应用。作者提出了管网部件的概念, 并给出管件的定义及其组合基本定理。文中指出根据基本定理的两个重要参数―管件的比例系数和管件的指数系数, 可以确定管件任一断面的幂函数数学模型, 并给出模型的求法。文中也讨论基本定理的应用和管网水力学分析方法。关键词:管网水力学模型管件一、引言一般管网的管段水力计算沿用理论公式或经验公式, 在国外它们也称为 Darcy-WEisbach 公式或 Hazen-William s 公式。两个公式是一致的, 只是表达形式不同。上述公式是管网分析的基础, 无论树状管网或环状管网水力分析一般都 2 是从管网中任一个节点开始, 或从水源端开始逐段计算分析最后得到全部管网的水力参数。这种传统计算方法只能得出管网的静态参数, 无法准确给出管网在与水泵联合工作的动态情况,即给出整个系统的状态参数的变化情况。如Q 、H 为水源节点, 即根据Q 、 H值选择水泵, 期望能使管网工作在选定的Q、H值附近。现代管网分析,从精确输水、节水、节能和高效利用能源考虑, 特别是一些需要实时控制的系统, 关注管网系统的实时状态, 以及管网与水源联合工作的状态变化,已经显得十分必要了。本文作者于 1988 年发表了《喷灌系统自适应模拟方法》,文中给出了树状管网的动态模拟方法。随着人们对节能、节水的需求越来越迫切, 有必要对管网分析的理论进行全面的探讨。本文在此提出解决复杂管网分析问题所需的基本原理和方法。二、 Darcy-WEIsbach 和 Hazen-Williams 公式 Darcy-Weisbach 公式: 一般沿程阻力系数 f=f(Q) ,即f 是流量Q的函数, 但在紊流的流态时, f 与Q无关。 Hazen-Williams 公式: 3 这里如管网布置完成,管长、管道采用的材料已确定,两者经变换可得到统一的形式, 不妨将两者的写成统一的形式如下: (1) 式中: a,b―为不等于零的待定实数。根据 GBJ85-85 《喷灌工程技术规范》给出的水头损失计算公式, ,容易得到: ,。在紊流的流态时,一般 b 为的实数。即在其有意义的定义域为单调增的幂函数。图1 4 图1即为式(1)的函数曲线。定义1: 将式(1)所表达的函数曲线称为管件的流量压力特征曲线。定义2: 将对水流呈现阻力并消耗能量的管网部件称为管件。管件具有式(1)所示的数学模型。根据定义2,也将式(1)称为管件的幂函数数学模型。不难看出式(1) 对局部损失也成立, 故管件数学模型也可用来表示管网中产生局部损失的部件。这样,管件就将管网中的管段、管接头、闸阀、三通和喷头等管网中的部件包含在内, 它们在管网中都表现为消耗水能,故它们都有如式(1)的相同数学模型。定义3: 5 对于在管网中能提升管道压力,并向管网提供水量的部件称为水源部件。简称:水源。一般的水源部件有:水泵、高位水塔、水库等。对于水泵其数学模型一般采用以下方程: (2) 式中: A、B、C ―为常数。对于理想的水库,其模型可表示为: (3) 其中: C―为常数。一般水源数学模型总可以表示为: 6 (4) 式中: a―为指数系数。三、管件组合数学模型 1. 管件组合模型定理1: 任何管件的组合,其组合后的管件,以管件断面的流量和压力水头表示的数学模型具有幂函数的形式。即无论组合前和组合后管件数学模型都是幂函数, 只是它们的比例系数和指数系数的值有所变化。证明如下: 这里用数学归纳法证明之。(1)当 n=1 时 7 其中H o 是第一个管件的出水端断面位置水头, 该水头是相对的。当以第一个管件的首端断面定为基准点时,H o=0 (以下如没有特别指出H表示断面的压力水头, Q表示通过断面的流量) 则这就是说 n=1 时定理1成立。(2)假设当 n=k 时,有对于没有流量交换的管件,上面的定理1成立,则 8 那么,管段的进水端 k+1 不失一般性,不妨设,因幂函数在定义域的第一象限内是单调增函数,总存在一个使得令则有: 即成立。对于有流量交换的管件这里用 q 来表示管件进口端的流量与出口端流量的不同。 9 虽然,但两者具有可互换性,如,用以上方法,同理可得如,因幂函数在定义域的第一象限内是单调增函数,总存在一个使得综上所论,可得成立,证毕。 2. 流量与压力水头互为幂函数定理 2: 管件中的流量Q与压力水头H互为幂函数的映射。该定理容易从 10 可以推得只要令: 即可。从以上分析中可知定理 2 成立。以下称: a,b 为管件的流量系数,管件的流量指数; 为管件的压力水头系数,管件的压力水头的指数。 3. 管件两端模型之间的关系(1)对于没有流量交换的管件已知管件进水端的幂函数模型,可以求出管件出水端的幂函数表达