非正交曲线坐标下二维水流计算的SIMPLEC算法.doc

1 非正交曲线坐标下二维水流计算的 SIMPLEC 算法摘要:本文采用 Laplace 方程坐标变换方法生成正交曲线网格, 并对浅水流动的控制方程进行坐标变换, 方程离散时采用 B 型交错网格。利用“水位扫描法”结合壁面函数法来处理移动边界,用 SIMPLEC 算法解非正交曲线坐标下的 k-ε双方程紊流模型,修正了由网格的非正交性引起的误差。通过对美国 Colorado 洲 Fall River 的资料进行流场验证, 计算结果与实测资料基本符合, 显示了本模型在不规则水域计算中的实用价值。关键词:坐标变换 k-ε紊流模型水位扫描法壁面函数 SIMPLEC 算法随着经济发展和社会进步, 水利工程建设的步伐也在进一步加快, 其中港航建设、大坝建设中的泥沙问题以及近来倍受世人关注的水污染问题已经成为制约水利发展 2 的瓶颈问题, 弄清河流、湖泊、海洋中水动力因素, 是解决以上问题的重要基础。近年来, 数学模型已逐步取代物理模型实验成为研究水流的重要手段, 而浅水流动模型是处理大区域流场的一种非常有效的模型。它属于非线性方程组, 在目前只能用数值方法求解, 因此, 有必要研究一种简单、高效的方法来求解浅水流动问题。自 Patankar 和 Spalding[1] 发展了 SIMPLE 算法以来, 该方法被广泛应用于不可压缩流场的数值模拟, 而且该方法还得到了进一步的发展, 主要有 SIMPLER 算法[2] 、 SIMPLEC 算法[3] 、 SIMPLEX 算法[4] 和 SIMPLET 算法[5] 等。这些模型均成功地应用于速度—压力耦合的流场计算, 深度平均的浅水流动模型是在静压假定下导出的, 一般流体模型中的速度—压力耦合也就转换成浅水流动模型中的速度—水深耦合[6] 。天然河流、海湾的边界曲折、地形复杂, 采用坐标变换是解决问题的途径之一。目前多数 N-S 方程的坐标变换中,流程全部采用逆变分量, 这样就增加了方程的复杂程度。于是忽略掉方程中的非正交项, 利用正交变换下的方程进行数值求解[7,8] 。对于具有复杂边界的海湾及弯曲的河流,坐标变换中很难保证每个点都正交, 特别是边界附近。水位变化是水力计算中难点之一, 在目前的紊流数学模型中, 多简单的利用“冻结法”,这样做将失去对边界出流动模拟的准确性。 3 本文研究中, 采用正交曲线坐标变换生成数值网格, 而数值计算中采用非正交曲线坐标下的 k-ε双方程紊流模型,这样可以自动修正网格生成中的非正交项。流速除对流项中采用逆变分量, 在其余各项中均采用原始分量, 这样使得方程书写简单, 有利于将各方程写成通用形式, 编写的程序变得更规范。作者受 Jian Ye 同位网格[9] 的启发,对普通交错网格做了修改, 即采用 B 型交错网格, 使得 u,v,k, ε的计算布置在一个节点上, 有利于节省计算程序代码, 使程序书写更加规范。引入动边界扫描技术,结合紊流模型的壁面函数法, 使壁面随着真实边界而变化。数值求解时, 采用控制体积法离散方程,运用 SIMPLEC 算法,使计算的流场更符合实际流场。 1 数值网格本文对计算区域用 Laplace 方程实施坐标变换,生成正交的贴体网格,控制方程: 4 (1) 方程组(1) 可采用 SOR 方法求解,然后用正交曲线网格边界正交化处理的三次样条插值边界滑动法[10] ,处理其边界处的网格, 以提高其正交性。与其它方法相比, 此方法虽在一定程度上提高了边界处网格的正交性, 但难以保证完全正交,如果再把曲线坐标系下 N-S 方程中的非正交项去掉,由斜交网格引起的计算误差是不容忽视的。为了修正此项误差,本文采用非正交曲线坐标下的平面二维 k-ε双方程紊流模型,模型能自动修正网格生成中的非正交项。 2 数学模型笛卡儿坐标下深度平均的 k-ε双方程紊流模型的通用微分方程: 5 (2) 方程(2) 转换到曲线坐标(ξ、η) 下,仅在对流项中使用流速的逆变分量, 而在其它项中使用原始变量, 这样既简化了方程, 又使所有方程仍可写为曲线坐标下的通用方程, 模型的微分方程可写为如下通用形式: (3) 6 式中: Φ为所求问题的因变量; U和V 分别为直角坐标下流速 u和v 的逆变分量, 仅在对流项中出现; ΓΦ为扩散系数; SΦ为源项。当Φ表示某一特定量时, ΓΦ和SΦ对此特定量有特定的意义和表达式,这时方程(3) 亦赋予特定的意义, 模型的控制方程组如表 1 所示。式中:u和v 分别为笛卡儿坐标下 x和y 方向的深度平均的流速分量;k和ε分别为深度平均的紊动动能和紊动动能耗散率; H 为水深; zs 为水位; zb 为河床高程; ν为分子运动粘性系数;νt 为漩涡运动粘性系数;τ bx和τ by 分别为 x和y方向上的底摩擦力μ eff 为有效粘性系数;