第七章数值积分与数值微分.ppt

第七章数值积分与数值微分
第一页，共55页。
数值积分
微积分基本公式：
(3) f (x) 表达式未知，只有通过测量或实验得来的数据表
但是在许多实际计算问题中
(2) F(x) 难求！甚至有时不能用初等函数表示。 xi –xi-1
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稳定性
定义：对  > 0，若存在  > 0，使得当 ( i = 0, 1, … , n) 时，有
则称该求积公式是 稳定的。
定理：若 Ai > 0, i = 0, 1, … , n，则下面的求积公式是稳定的
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第七章数值积分与数值微分
数值分析
—— Newton-Cotes 公式
复合求积公式
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本讲内容
公式介绍
代数精度
余项表达式
Newton-Cotes 公式
复合求积公式
复合梯形公式
复合 Simpson 公式
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Newton-Cotes 公式
基于等分点的插值型求积公式
积分区间：[a, b]
求积节点： xi = a + i  h
求积公式：
Cotes 系数
Newton-Cotes 求积公式
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Newton-Cotes 公式
n = 1:
代数精度 = 1
梯形公式
n = 2:
代数精度 = 3
抛物线公式
Simpson公式
n = 4:
科特斯 (Cotes) 公式
代数精度 = 5
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Cotes 系数表
Cotes 系数与被积函数 f (x) 及积分区间 [a, b] 无关
可通过查表获得
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N-C 公式
Cotes 系数具有以下特点：
(1)
(2)
(3) 当 n  8 时，出现负数，稳定性得不到保证。而且当 n 较大时，由于Runge现象，收敛性也无法保证。
当 n  7 时，Newton-Cotes 公式是稳定的
一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式
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N-C 公式代数精度
定理：当 n 为偶数时，Newton-Cotes 公式至少有 n+1 阶代数精度
定理：n 阶 Newton-Cotes 公式至少有 n 阶代数精度
证：只要证明当 n 为偶数时，公式对 f (x)＝xn+1 精确成立。
x = a + t h
t = n - s
即
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N-C 公式余项
梯形公式 (n=1) 的余项
Simpson公式 (n=2) 的余项
Cotes 公式 (n=4) 的余项
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复合求积公式
提高积分计算精度的常用两种方法
用 复合公式
用 非等距节点
将积分区间分割成多个小区间
在每个小区间上使用低次牛顿－科特斯求积公式
复合求积公式
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复合梯形公式
将 [a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] ，其中
(i = 0, 1, …, n)
复合梯形公式
余项
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复合 Simpson 公式
余项
性质：复合梯形公式和复合Simpson 公式都是收敛的，也都是稳定的。
4
4
4
4
4
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举例
解：
例：设 ，利用下表中的数据分别用复合梯形公式和复合simpson公式计算定积分 ，并估计误差。
xi
0
1/8
2/8
3/8
4/8
5/8
6/8
7/8

f (xi )
1








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举例
误差估计
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收敛速度与误差估计：
定义
若一个积分公式的误差满足 且C  0，则称该公式是 p 阶收敛的。
~
~
~
例：计算
解：
其中
=
其中
=
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举例
解：
例：计算定积分
用复合梯形公式和复合simpson公式时，n 分别取多大时才