地震学讲稿_11 各向异性介质中的平面波.doc

地震学讲稿_11 各向异性介质中的平面波
地震学讲义, 武汉大学地球物理系朱良保编写@版权所有, 违者必究.
第11章各向异性介质中的平面波
介质中一点的物理性质如果与方向有关, 该介质被称为各向异性介质. 微观晶体的物性一般是各向异性的. 如果晶体的排列杂乱无章, 宏观上就会表现出各向同性. 地球介质的各向异性主要表现在地壳与上地幔, 以及地球的内核. 孔隙及微破裂的定向排列, 结晶体的优势方向排列都会表现出地震波速宏观各向异性. 各向异性介质中的地震波传播理论比各向同性的要复杂的多, 描述介质弹性性质的参数也多. 但是,地球介质的宏观各向异性给地震波传播造成的影响比较微弱, 大多数观测结果缺乏有力的各向异性证据. 随着地震观测仪器精度与动态范围、观测手段的提高,各向异性的研究越来越受到重视。内核相对于地幔差速转动的发现就依赖于内核的各向异性模型。
首先我们看一个简单的例子,以此认识各向异性介质中波的复杂性。假设介质是均匀各向异性的。设地震波由一点发出,由于波向不同方向传播的相速度是不相同的,在特定的时间后形成的波前面(等相位面)不再是一个圆球,而是一个曲面。如图()所示,射线的方向是能量传播的方向,能量传播的速度叫群速度。波前面法向是相位传播的方向,也是波幔度方向,整个波前面是平面波等相位面的包络。从图中可以看出,射线与波前面并不垂直,能量传播的方向、相位传播的方向以及波的偏振方向不
在同一个方向,即使是P波也可能如此。
相速度、群速度、偏振波前面法向
射线方向我们用简谐平面波来演示上述特征。偏振方向
设简谐平面波的位移形式为
u(x,t)?gexp??i?(t?s?x)?,
或写成分量形式
ui(x,t)?giexp??i?(t?s?x)? ()
其中波幔度矢量s??s?为,c为相速度,sc
点源在各向异性介质中
产生的波前面。幔度单位矢量(等相位面传播的方向),是给定的已知量。相速度c是与幔度单位?有关的待定量。 g为位移偏振矢矢量s
?有关的待定矢量。量,与坐标无关,是与幔度单位矢量s
弹性动力学方程为
??i(x,t)??u??ij(x,t)?xj. ()
广义胡克定律
?ij?Cijkl?ul () ?xk
将()带入()得
??i(x,t)?Cijkl?u?2ul。() ?xj?xk
将()带入()得
1
地震学讲义, 武汉大学地球物理系朱良保编写@版权所有, 违者必究.
?gi?Cijklsksjgl
或写成
(Cijklsksj???il)gl?0。()
由幔度矢量的定义,可把()写成
?ks?j?c2??il)gl?0。() (Cijkls
令Mil?Cijkl??ks?j,s()可写成
M?g?c2g ()
?, 相速度c以及偏振矢量g就是满足方程()的由()可知, 只要给定幔度矢量的方向s
解。方程()是求矩阵M的本征值及本征矢量问题。由于M是实对称矩阵, 它一定存在三个相互正交的本征矢量, 而且相应的本征值为正的实数。满足() g的非零解条件是 det?M?c2I??0, ()
上式()即为本征值c2所满足的方程。
为了表达()的涵义, 假设介质是各向同性的, 即
Cijkl???ij?kl??(?il?jk??ik?jl). ()
由此得 Mil?1??s??(???)sil???il?, 代入()得到
?1??is?l???il??c2?il??0. (.) det??(???)s???
由于本征值与本征矢量与坐标的选取没有关系(也就是坐标变换不会改变本征值与本征向量的解), 又由于介质是各向同性的, 坐标的旋转也不会改变介质参数的表达形式。我们选取
?重合, 即x?, 则 s?i??i1, 代入()得?1?s?1与给定的幔度单位矢量sx
??2?2?c?
即 000?0. () ?2?c?0?2?c?
???2?2???2???2????????c?c?c??????????0 ??????
由此推得相速度c的一个解为
2
地震学讲义, 武汉大学地球物理系朱良保编写@版权所有, 违者必究.
c???2?, P波的速度. ?
另外两个解相同
c?, S波的速度。?
22对于P波, 设g为归一化的单位矢量, 即g12?g2 ?g3?1, 由()得到g1?1,g2?