典型数理方程推导.ppt

第1章典型数理方程推导和定解问题
§ 偏微分方程基本概念
§ 三类典型数理方程推导
§ 定解问题及其适定性
§ 偏微分方程线性叠加原理
数学物理方法研究问题的步骤:
写出定解问题:包括泛定方程和定解条件,把物理问题转化为数学语言(数学语言翻译物理规律)
求解:数理方程的求解方法大致有行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法、数值解法等,以上解法我们将在以后一一阐述。
分析解答:解出答案,需分析其意义及适定性。适定性:指解是存在的唯一的而且是稳定的。
对物理规律进行解释。
§ 偏微分方程基本概念
:含有自变量,未知函数以及未知函数
的导数或微分的方程(Differential Equation)
:未知函数为一元函数的微分方程.

(Partial Differential Equation):
含有未知函数关于自变量的偏导数的等式(描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系)。一般形式为:

注:F 可以不显含自变量和未知函数,但必须含有未知函数的某个偏导数。

:多个未知函数,多个PDE。
:出现在PDE中最高阶偏导数的阶数。
:
(1)如果PDE关于未知函数及其各阶偏导数是一次的,则称为线性方程,反之称非线性方程。
(2)如非线性方程对未知函数的所有最高阶偏导数都是线性的,则称它为拟线性方程。
(3)如非线性方程中方程对未知函数的最高阶偏导数不是线性的,则称它完全非线性方程。

:方程中不含未知函数及其偏导数的项。
:
(1)自由项为零的方程称为齐次偏微分方程。
(2)自由项非零的方程称为非齐次偏微分方程。

思考:
例:判断下列方程的阶、线性、齐次性
一阶线性齐次
三阶拟线性齐次
一阶非线性齐次
二阶非线性齐次

:某个连续函数 u 代入偏微分方程中,能使方程成为恒等式,则这个函数就是该偏微分方程的古典解(P2)。
:解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意常数的解(P2) 。
:通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。
:未经过验证的解为形式解。
例一: (设未知函数为二元函数)
1.
2.
变换
解为:
解为:
例一:(未知函数为二元函数)
4.
3.
解为:
变换
解为: