山东省章丘绣江中学2014年推荐生考试数学模拟试题及答案.doc

1、如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-2,-4),OB=2,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点M是抛物线对称轴上一点,试求AM+OM的最小值;
(3)在此抛物线上,是否存在点P,使得以点P与点O、A、,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)由OB=2,可知B(2,0)
将A(-2,-4),B(2,0),O(0,0)三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c,得
解得:
∴抛物线的函数表达式为。
(2)由,可得,抛物线的对称轴为直线,且对称轴是线段OB的垂直平分线,连结AB交直线于点M,即为所求。
∴MO=MB,则MO+MA=MA+MB=AB
作AC⊥x轴,垂足为C,则AC=4,BC=4,∴AB=
∴MO+MA的最小值为。
(3)①若OB∥AP,此时点A与点P关于直线对称,
由A(-2,-4),得P(4,-4),则得梯形OAPB。
②若OA∥BP,设直线OA的表达式为,由A(-2,-4)得,。
设直线BP的表达式为,由B(2,0)得,,即,
∴直线BP的表达式为
由,解得,(不合题意,舍去)
当时,,∴点P(),则得梯形OAPB。
③若AB∥OP,设直线AB的表达式为,则
,解得,∴AB的表达式为。
∴直线OP的表达式为。
由,得,解得,(不合题意,舍去),此时点P不存在。
综上所述,存在两点P(4,-4)或P()使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形。
2、如图,顶点坐标为(2,﹣1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点.
求抛物线的表达式;
设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC、AD,求△ACD的面积;
(3)点E为直线BC上一动点,过点E作y轴的平行线EF,,使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.
分析
(1)已知抛物线的顶点,可先将抛物线的解析式设为顶点式,再将点C的坐标代入上面的解析式中,即可确定待定系数的值,由此得解.
(2)可先求出A、C、D三点坐标,求出△ACD的三边长后,可判断出该三角形的形状,进而得到该三角形的面积.(也可将△ACD的面积视为梯形与两个小直角三角形的面积差)
(3)由于直线EF与y轴平行,那么∠OCB=∠FED,若△OBC和△EFD相似,则△EFD中,∠EDF和∠EFD中必有一角是直角,可据此求出点F的横坐标,再代入直线BC的解析式中,即可求出点E的坐标.
解答
解:(1)依题意,设抛物线的解析式为 y=a(x﹣2)2﹣1,代入C(O,3)后,得:
a(0﹣2)2﹣1=3,a=1
∴抛物线的解析式:y=(x﹣2)2﹣1=x2﹣4x+3.
(2)由(1)知,A(1,0)、B(3,0);
设直线BC的解析式为:y=kx+3,代入点B的坐标后,得:
3k+3=0,k=﹣1
∴直线BC:y=﹣x+3;
由(1)知:抛物线的对称轴:x=2,则 D(2,1);
∴AD2=2,AC2=10,CD2=8
即:AC2=AD2+CD2,△ACD是直角三角形,且AD⊥CD;
∴S△ACD=AD•CD=××2=2.
(3)由题意知:EF∥y轴,则∠FED=∠OCB,若△OCB与△FED相似,则有:
①∠DFE=90°,即 DF∥x轴;
将点D纵坐标代入抛物线的解析式中,得:
x2﹣4x+3=1,解得 x=2±;[来源:]
当x=2+时,y=﹣x+3=1﹣;
当x=2﹣时,y=﹣x+3=1+;
∴E1(2+,1﹣)、E2(2﹣,1+).
②∠EDF=90°;
易知,直线AD:y=x﹣1,联立抛物线的解析式有:
x2﹣4x+3=x﹣1,解得 x1=1、x2=4;
当x=1时,y=﹣x+3=2;
当x=4时,y=﹣x+3=﹣1;
∴E3(1,2)、E4(4,﹣1);
综上,存在符合条件的点E,且坐标为:(2+,1﹣)、(2﹣,1+)、(1,2)或(4,﹣1).
点评
此题主要考查了函数解析式的确定、图形面积的解法以及相似三角形的判定和性质等知识;需要注意的是,已知两个三角形相似时,若对应边不相同,那么得到的结果就不一定相同,所以一定要进行分类讨论.
3、如图1,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1).点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线交折线OAB于点E.
记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;
(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1